Re: [微積] 連鎖律的證明

[arrenwu (最是清楚哇她咩)]

※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之銘言：
: 在Stewart的書中 連鎖律證明的上半部分是這樣
這證明過程看起來還真是有點花，讓我們換個角度來看好了

微分的連鎖律
給定兩函數 f(x), g(x)，並且定義合成函數 h(x) = f(g(x))
連鎖律：如果在x=a, g'(a) 與 f'(g(a)) 都存在，
        試證 h'(a) 存在且 h'(a) = f'(g(a))*g'(a)

一個直覺的想法
有一種滿直接的做法是：
lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = lim [f(g(x))-f(g(a))]/(x-a)
x->a                    x->a

                      = lim [f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a))*[g(x)-g(a)]/(x-a)
                        x->a

而 (1) lim [f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a)) = f'(g(a))
       x->a

   (2) lim [g(x)-g(a)]/(x-a) = g'(a)
       x->a

所以 lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = f'(g(a))*g'(a)
     x->a

秒殺！

很遺憾的，這個直覺的做法有瑕疵
上面那想法雖然沒有錯(至少沒有錯得太離譜)
但是有一個數學上的問題是
        我們在取極限的時候，x->a 有個基本的假設是 x≠a
        所以分母寫 (x-a) 是 well-defined，
        但是！我們並沒有保證過 (g(x)-g(a)) 不等於零。

也就是說，

[f(g(x))-f(g(a))]/(x-a) = [f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a))*[g(x)-g(a)]/(x-a)

這個寫法本身就隱含著"g(x)-g(a)不等於零"的意涵。
(不然你也沒辦法放在分母了)

那麼，我們有 "x≠a的時候，g(x)-g(a)不等於零" 這項假設嗎？
很遺憾地，沒有。

所以這時候數學分析的技術開始介入了！

讓我們來看個比較嚴謹的數學證明
問題出在 f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a)，我們就來處理這部分吧

所以我們定義一個快樂函數 u(x) = f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a)), g(x)≠g(a)
                                f'(g(a))                    , g(x)=g(a)

因為絕對不可能有一個 x 使得 g(x)=g(a) 與 g(x)≠g(a) 同時成立，
所以這函數是 well-defined的

定義這函數幹嘛呢？

Claim1:對於任意 x≠a 我們有
        [h(x)-h(a)]/(x-a) = u(x)*[(g(x)-g(a)]/(x-a)

<Proof of Claim1>
這個證明很直接，就討論 g(x) = g(a) 和 g(x) ≠ g(a) 的情況

有了Claim1之後，距離目標就不遠了
畢竟 lim [(g(x)-g(a)]/(x-a) = g'(a) 是已知條件
     x->a

下一步就僅剩下證明 lim u(x) = f'(g(a))
                   x->a

有這個條件的話，就可以得到
        lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = lim u(x)*[(g(x)-g(a)]/(x-a)
        x->a                    x->a

                              = lim u(x)* lim [(g(x)-g(a)]/(x-a)
                                x->a      x->a

                              = f'(g(a)) * g'(a)

Claim2: u(x) 在 x=a 時連續
<Proof of Claim2>
想要證明這件事情，必須證明
        對於任意ε>0，都存在一個η>0 使得
        |x-a| < η => |u(x)-u(a)| < ε

當然， u(a) = f'(g(a)) 是顯而易見啦

證明開始囉！

已知 f'(g(a)) 存在，所以對於任意ε>0，都存在一個δ>0使得
        y≠g(a) 且 |y-g(a)| < δ => |[f(y)-f(g(a))]/(y-g(a))- f'(g(a))|<ε

用g(x)帶入y可得到
       對於任意ε>0，都存在一個δ>0使得
       g(x)≠g(a) 且 |g(x)-g(a)| < δ
        => |[f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a))- f'(g(a))|<ε
        => |u(x)- f'(g(a))|<ε                ..... (1)

同時，任何情況下，只要 g(x) = g(a)，u(x) 即等於 f'(g(a))  .... (2)

綜合(1),(2)我們可以得到
       對於任意ε>0，都存在一個δ>0使得
        |g(x)-g(a)| < δ => |u(x)- f'(g(a))|<ε ...... (3)


另一方面因為  g'(a)存在，所以g(x)在 x=a 時必定連續
所以
        對於任意 δ > 0 ，必然存在一個 η>0 使得
        |x-a| < η => |g(x)-g(a)| < δ  .......... (4)

綜合 (3),(4)，我們可以得到
       對於任意ε>0，都存在一個 η>0 使得
        |x-a| < η => |u(x)- f'(g(a))|<ε  Q.E.D


好，既然我們現在有了 u(x) 在 x=a 時候連續，
自然就有 lim u(x) = u(a) = f'(g(a))
         x->a

之後可以歡樂地使用 chain rule了 :D

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今天的天空好像特別美
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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1733573827.A.C03.html
推 LeFilsDuVent: 邏輯清楚
→ mantour     : 推，清楚易懂
推 oyasmy      : 只有我不太懂 從定義上來看 lim(x->a)u(x)不是就是
→ oyasmy      : f'(g(a))嗎?還有直接從定義不就已經直接把x=a這個洞
→ oyasmy      : 補起來了嗎?所以後續為什麼還要證明呢?當然我一定
→ oyasmy      : 是錯的 我只是問問看而已
推 oyasmy      : ^後續為什麼還要證明連續
從u(x)定義來看，
(1) 我們可以直接得到 u(a) = f'(g(a))，
(2) 但那個定義沒辦法直接得到 lim u(x) = f'(g(a))
                             x->a

要證明lim u(x) = f'(g(a)) ，就要證明下面這件事情：
      x->a

        對於任意ε>0，都存在一個δ>0 使得
        x≠a, |x-a|<δ => |u(x)-f'(g(a))| <ε

妳不妨試試看妳會怎麼做 :)
推 ERT312      : @oyasmy 其實arrenwu的方法就是你課本的方法
→ ERT312      : arrenwu大的u(x)就是你課本的ε2 + f'(g(a))
→ ERT312      : claim1就是Δy/Δx=(ε2+f'(g(a)))(g'(a)+ε1)
→ ERT312      : claim2就是此串前篇我插播的定理
→ ERT312      : 當然有些細節不一樣例如arrenwu大的x對照前篇就是
→ ERT312      : a+Δx ; x→a就是Δx→0
→ ERT312      : 我插播的定理沒要求f在a連續，沒用到的條件我習慣
→ ERT312      : 放弱，其餘就大同小異
→ ERT312      : oyasmy大 你有學過ε-δ式的極限跟連續定義嗎
→ ERT312      : 因為從你此串第一篇的提問，看得出來你是有一些自己
→ ERT312      : 想法，例如原本的ε2在還沒定義ε2(Δu=0)時，並沒
→ ERT312      : 有新增任何東西，只是把原本一串很長的式子用ε2表
→ ERT312      : 式而已，只有在定義ε2(Δu=0)=0時，才真正有加了料
→ ERT312      : 而你對這個加料感到疑惑或不安，為何不影響證明的正
→ ERT312      : 確性。看得出你有自己的想法...但又好像說不清楚
→ ERT312      : 或許可以試著把你的問題更詳細多說一點
推 oyasmy      : 回a大 我會照抄你的方法 只是把η和δ互換
→ oyasmy      : |x-a| < η改成0<|x-a| < δ
→ oyasmy      : |u(x)-u(a)| < ε改成|u(x)-f'(g(a))|
→ oyasmy      : 其它的照抄 這樣好像可以
但我之所以要寫一串，就是因為我覺得

lim u(x) = f'(g(a)) 並非顯而易見啊
x->a

至少 u(x) 是用一個不是很自然的方式訂出來的
→ oyasmy      : 回E大 我想問的基本上都問了 只是我覺得怎麼你們
→ oyasmy      : 提出的證明方法怎麼比課本上的更難啊XD
推 deathcustom : oya, 我這樣跟你說好了，世界上有兩種人，一種是懂
→ deathcustom : 為什麼的人，另一種是懂怎麼用的人。你先確認一下
→ deathcustom : 你需要成為哪一種人，我自己是選擇成為第二種
→ deathcustom : arrenwu的推導會讓你覺得比課本上更難的一種可能是
→ deathcustom : 你沒有仔細想一下課本上推導的邏輯(when you take
→ deathcustom : it for granted, it's trivial!!)
推 oyasmy      : 因為E大的提示 我知道u(x)是課本的ε2+f'(g(a))
→ oyasmy      : 定義g(x)=g(a)時u(x)=f'(g(a))等價於定義當Δu=0時
→ oyasmy      : ε2=0 所以a大的方式是等價於課本的 只是我覺得
→ oyasmy      : 在課本上理所當然的事 a大都嚴格證明了出來 我知道
→ oyasmy      : 這是一種比較高級的技術
推 deathcustom : 我給你的問題是:r you a scientist or an engineer?
→ deathcustom : 作工程師，記下來，學會怎麼運用他，就好了
→ deathcustom : 作學術的態度，你就不能把"任何一步"當作理所當然
→ musicbox810 : Claim1前提就是x不等於a，為何還要討論g(x)=g(a)?
因為 x≠a 和 g(x)=g(a) 可以同時成立呀
推 ERT312      : 其實就是前篇我提到的Δu的第二種情況
→ ERT312      : 發生這種情況，x在a的任一鄰域都會踩到無限多點
→ ERT312      : g(x)=g(a)，連鎖律考慮一般情況就無法排除這種情況
→ musicbox810 : 請問ERT大第二種狀況是在主文裡面的哪個地方？因為
→ musicbox810 : 沒標，所以不太清楚是指哪個段落的
→ ERT312      : 前篇的"而否定上述情況的Δu即為" .....
→ musicbox810 : 回a大 (h(x)-h(a))=[f(g(x))-f(g(a))]/0 *0當g(x)=
→ musicbox810 : g(a)，會發生0/0的問題
[h(x)-h(a)]/(x-a) 在 x≠a 和 g(x)=g(a) 同時成立下就是 0 呀，
分母 x-a 仍然因為 x≠a 所以不是 0 呀
→ musicbox810 : 可以請a大乾脆把claim1的證明寫出來嗎？謝謝
<Proof of Claim1>
對於任意x≠a

(1) 如果 g(x) = g(a)

[h(x)-h(a)]/(x-a) = [f(g(x))-f(g(a))]/(x-a)  = 0

u(x)*[g(x)-g(a)]/(x-a) = 0

(2) 如果 g(x) ≠ g(a)

[h(x)-h(a)]/(x-a) = [f(g(x))-f(g(a))]/(x-a)

u(x)*[g(x)-g(a)]/(x-a) = [f(g(x))-f(g(a))]/[g(x)-g(a)]*[g(x)-g(a)]/(x-a)

                       = [f(g(x))-f(g(a))]/(x-a)

故 x≠a 之下， [h(x)-h(a)]/(x-a) = u(x)*[g(x)-g(a)]/(x-a)
→ musicbox810 : 那我覺得跟我在最後一篇講的證明是同樣一件事，只是
→ musicbox810 : 我在那篇寫的f'(g(a))，a大直接用u(x)表示，是吧?
我不太懂你想表達什麼。我這邊定義的 u(x)是個函數，f'(g(a))是個常數
u(x) 跟 f'(g(a)) 怎麼樣都不同吧？
※ 編輯: arrenwu (98.45.195.96 美國), 12/11/2024 15:18:20
→ musicbox810 : 但是a大再賦予u(a)值使u(x)為連續，以致於可以在乘
→ musicbox810 : 積的極限化成個別極限的乘積時直接算出limu(x)x->a
→ musicbox810 : 但是在那種g(x)=g(a)狀況下，lim [h(x)-h(a)]/(x-a)
→ musicbox810 : 反正也是0，u(a)是什麼就不重要了