Re: [微積] 連鎖律的證明

[musicbox810 (結束是一種開始)]

抱歉，因為疑問需要打公式，就回一篇。
為了版面整潔，恕刪部分前文內容

※ 引述《arrenwu (最是清楚哇她咩)》之銘言：
: ※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之銘言：
: : 在Stewart的書中 連鎖律證明的上半部分是這樣
: 這證明過程看起來還真是有點花，讓我們換個角度來看好了
: 微分的連鎖律
: 給定兩函數 f(x), g(x)，並且定義合成函數 h(x) = f(g(x))
: 連鎖律：如果在x=a, g'(a) 與 f'(g(a)) 都存在，
:         試證 h'(a) 存在且 h'(a) = f'(g(a))*g'(a)
:         我們在取極限的時候，x->a 有個基本的假設是 x≠a
:         所以分母寫 (x-a) 是 well-defined，
:         但是！我們並沒有保證過 (g(x)-g(a)) 不等於零。
: 也就是說，
: [f(g(x))-f(g(a))]/(x-a) = [f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a))*[g(x)-g(a)]/(x-a)
: 這個寫法本身就隱含著"g(x)-g(a)不等於零"的意涵。
: (不然你也沒辦法放在分母了)
: 那麼，我們有 "x≠a的時候，g(x)-g(a)不等於零" 這項假設嗎？
: 很遺憾地，沒有。
: 所以這時候數學分析的技術開始介入了！
: 讓我們來看個比較嚴謹的數學證明
: 問題出在 f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a)，我們就來處理這部分吧
: 所以我們定義一個快樂函數 u(x) = f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a)), g(x)≠g(a)
:                                 f'(g(a))                    , g(x)=g(a)
: 因為絕對不可能有一個 x 使得 g(x)=g(a) 與 g(x)≠g(a) 同時成立，
: 所以這函數是 well-defined的
: 定義這函數幹嘛呢？
: Claim1:對於任意 x≠a 我們有
:         [h(x)-h(a)]/(x-a) = u(x)*[(g(x)-g(a)]/(x-a)
: <Proof of Claim1>
: 這個證明很直接，就討論 g(x) = g(a) 和 g(x) ≠ g(a) 的情況

[h(x)-h(a)]/(x-a) = u(x)*[(g(x)-g(a)]/(x-a)只適用g(x)≠g(a)的情況
不適用於g(x)=g(a)的情況吧？

[h(g(x))-h(g(a))]/(x-a)應該=0當g(x)=g(a)

如果
[h(g(x))-h(g(a))]/(x-a) = f'(g(a))[(g(x)-g(a)]/(x-a)當g(x)=g(a)，
只能說造出了一個跟原本99%像而已的[H(g(x))-H(g(a))]/(x-a)。

: 有了Claim1之後，距離目標就不遠了
: 畢竟 lim [(g(x)-g(a)]/(x-a) = g'(a) 是已知條件
:      x->a
: 下一步就僅剩下證明 lim u(x) = f'(g(a))
:                    x->a
: 有這個條件的話，就可以得到
:         lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = lim u(x)*[(g(x)-g(a)]/(x-a)
:         x->a                    x->a
　　　　　　　　　　　　　　　　　當g(x)=g(a)時，請問等號為什麼會成立？
                                  這一步看不懂...

:                               = lim u(x)* lim [(g(x)-g(a)]/(x-a)
:                                 x->a      x->a
:                               = f'(g(a)) * g'(a)
                                  !!!!!!!
                              強迫給u(a)的值目的就在這裡吧？

但是這種作法，我覺得只是為了要繼續適用當g(x)=g(a)時的f'(g(a)) * g'(a)結果，
實際上是人為故意賦予f(g(a))-f(g(a))]/(g(a)-g(a))=0/0一個新值，有點倒果為因，
先射箭(認定連鎖律形式不變)，再畫靶(定義u(a))，只為套用f'(g(a)) * g'(a)的結果。


何不從定義開始呢？假設在x=a的鄰域g(x)=g(a)
lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = lim [h(g(x))-h(g(a))]/(x-a) = lim 0/(x-a) = 0
x->a                    x->a                          x->a

而且g'(a)=0，f'(x)存在的情況下，f'(g(a))是什麼值不重要，只要是有限就好。
lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = 0改寫成f'(g(x))*0一樣滿足f'(g(a)) * g'(a)的結果，
x->0
所以可以直接沿用g(x)≠g(a)情況下的連鎖律形式。


: Claim2: u(x) 在 x=a 時連續
: <Proof of Claim2>
: 想要證明這件事情，必須證明
:         對於任意ε>0，都存在一個η>0 使得
:         |x-a| < η => |u(x)-u(a)| < ε
: 當然， u(a) = f'(g(a)) 是顯而易見啦
: 證明開始囉！
: 已知 f'(g(a)) 存在，所以對於任意ε>0，都存在一個δ>0使得
:         y≠g(a) 且 |y-g(a)| < δ => |[f(y)-f(g(a))]/(y-g(a))- f'(g(a))|<ε
: 用g(x)帶入y可得到
:        對於任意ε>0，都存在一個δ>0使得
:        g(x)≠g(a) 且 |g(x)-g(a)| < δ
:         => |[f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a))- f'(g(a))|<ε
:         => |u(x)- f'(g(a))|<ε                ..... (1)
: 同時，任何情況下，只要 g(x) = g(a)，u(x) 即等於 f'(g(a))  .... (2)
: 綜合(1),(2)我們可以得到
:        對於任意ε>0，都存在一個δ>0使得
:         |g(x)-g(a)| < δ => |u(x)- f'(g(a))|<ε ...... (3)
: 另一方面因為  g'(a)存在，所以g(x)在 x=a 時必定連續
: 所以
:         對於任意 δ > 0 ，必然存在一個 η>0 使得
:         |x-a| < η => |g(x)-g(a)| < δ  .......... (4)
: 綜合 (3),(4)，我們可以得到
:        對於任意ε>0，都存在一個 η>0 使得
:         |x-a| < η => |u(x)- f'(g(a))|<ε  Q.E.D
: 好，既然我們現在有了 u(x) 在 x=a 時候連續，
: 自然就有 lim u(x) = u(a) = f'(g(a))
:          x->a
: 之後可以歡樂地使用 chain rule了 :D

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.231.22.16 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1733899712.A.EDE.html
推 arrenwu     : [h(x)-h(a)]/(x-a) = u(x)*[(g(x)-g(a)]/(x-a) 對
→ arrenwu     : 任意 x≠a 都成立喔
→ arrenwu     : g(x)=g(a) 的情況下 u(x)[g(x)-g(a)]/(x-a) 也是0
推 ERT312      : 這樣證明會有瑕疵，必須說明倒數第三行的極限存在
→ ERT312      : 連鎖律給的條件並沒有f'(g'(a))存在哦
→ ERT312      : 所以還是得用到u(x)
推 arrenwu     : "假設在x=a的鄰域g(x)=g(a)" <--- 我們沒有這條件啊
→ arrenwu     : 你不妨走著 極限的定義 證明 chain rule試試看？
→ arrenwu     : 我覺得在這過程中你自然發現你的做法會遇到的問題
→ ERT312      : 他的意思應該是會遇到無限多個點使得g(x)=g(a)吧?
→ musicbox810 : 就是在x=a的鄰域g(x)=g(a)，有可能是g(x)的極值點，
→ musicbox810 : 或者在有限的範圍內是水平線
→ musicbox810 : 連鎖律的條件不是f、g都可微就好？f'(g'(a))只是在
→ musicbox810 : x=g'(a)處的f微分?
推 arrenwu     : chain rule 的條件是 f'(g(a)) 和 g'(a) 存在
→ arrenwu     : 這兩者存在保證 f(g(x)) 在 x=a 時存在且等於
→ arrenwu     : f'(g(a))g'(a)
→ musicbox810 : 我在文中有一個地方，筆誤，修改一下
※ 編輯: musicbox810 (61.231.22.16 臺灣), 12/11/2024 15:13:58
推 ERT312      : 我寫錯...應該是連鎖律條件沒有給(f(g(x))'|x=a存在
→ musicbox810 : XD我再改一下那個地方
※ 編輯: musicbox810 (61.231.22.16 臺灣), 12/11/2024 15:15:38
推 arrenwu     : 我其實不太了解 musicbox810 想表達什麼
→ arrenwu     : 你是想要用個不一樣的過程證明 chain rule 嗎？
→ musicbox810 : 不是，我是想說不需要用上u(x)在g(x)=g(a)情況下是
→ musicbox810 : 什麼值，一樣得到連鎖律的結果。但是ERT大剛剛說我
→ musicbox810 : 用上f'(g(a))存在這個假設，可能有問題...
推 arrenwu     : 這點你沒有說錯，u(a) 隨便定其他值一樣可以得到
→ arrenwu     : chain rule 的結果
→ arrenwu     : lim u(x) as x->a 不一定要等於 u(a)
→ musicbox810 : 這是因為g(x)=g(a)的情況下g'(a)=0，所以f'(g(a))什
→ musicbox810 : 麼值就不重要，只要是有限的，還有f'(g(a))必須存在
→ arrenwu     : 應該說 u(a) 的值不影響 [h(x)-h(a)]/(x-a) =
→ arrenwu     : u(x)[g(x)-g(a)]/(x-a) for all x≠a
→ musicbox810 : 是的，我再花些時間思考推導流程。感謝a大和ERT大！
推 ERT312      : u(a)可以隨便定就類似於此串原po課本的ε2(Δu=0)
→ ERT312      : 可以隨便定，若定成u(x)連續可以直接套用前面學過的
→ ERT312      : 定理。若不連續就分成兩種情況...
→ musicbox810 : 請問ERT大是哪2種狀況？