Re: [微積] 連鎖律的證明

[ERT312 (312)]

※ 引述《musicbox810 (結束是一種開始)》之銘言：
: 何不從定義開始呢？假設在x=a的鄰域g(x)=g(a)
這種情況應該是x在a的某鄰域(扣掉a)內有無限多點滿足g(x)=g(a)
: lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = lim [h(g(x))-h(g(a))]/(x-a) = lim 0/(x-a) = 0
: x->a                    x->a                          x->a
這種情況沒辦法直接推得h'(a)=0，除非條件有給h'(a)存在
不過連鎖律沒有給這個條件，所以還是得借助u(x)
: 而且g'(a)=0，f'(x)存在的情況下，f'(g(a))是什麼值不重要，只要是有限就好。
: lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = 0改寫成f'(g(x))*0一樣滿足f'(g(a)) * g'(a)的結果，
: x->0
: 所以可以直接沿用g(x)≠g(a)情況下的連鎖律形式。

若當g(x)=g(a)時把u(x)定義成不等於f'(g(a))
則雖然claim1仍然成立，但claim2不成立
因此就不能直接套用極限的運算規則了

這時候可以把u(x)分成兩種情況
(一):存在δ1>0 for all x s.t. 0<|x-a|<δ1 => g(x)≠g(a)
這種情況可以證明lim(x→a) u(x)=f'(g(a))≠u(a)
因此雖然u(x)在a點不連續，但不妨礙取極限
這個證明很簡單，只要δ取得比δ1還小
可以保證x趨近a的過程不會踩到g(x)=g(a)的點
又由g在x=a的連續性，x→a可以改寫為g(x)→g(a)
再加上f(x)在x=g(a)的可微性，可得出u(x)→f'(g(a)) as x→a
不過這種情況其實也可不借助u(x)得出chain rule
麻煩的是(一)以外的情況

(二):一以外的情況就是一的否定
For all ε>0 there exists an x s.t. 0<|x-a|<ε and g(x)=g(a)
這種情況a的任一鄰域內都包含無限多點x使得g(x)=g(a)
此時可證明若g(x)在a可微，g'(a)必等於0
m大有興趣可用反證法證看看
這時候由claim1取極限仍可得出chain rule
只不過不是用極限的四則運算
而是套用另一個定理
若 f(x)=g(x)*h(x) 且 g(x)有界 and h(x)→0 as x→a
則 f(x)→0 as x→a

然後這種情況沒辦法直接得出一開頭說的h'(a)=0
所以我才說m大的寫法有瑕疵

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.255.207.173 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1733962833.A.7A5.html
→ musicbox810 : 請問ERT大，f(x)在x=g(a)的可微性表示f'(g(a))存在
→ musicbox810 : g(a)只是一個值，為什麼ERT又說h'(x)沒保證存在？這
→ musicbox810 : 不是相同的一件事情嗎？
→ musicbox810 : 我之前沒有看懂ERT大的這一點，所以想再跟ERT大確認
推 arrenwu     : 因為 f'(g(a)) 指的是 f(x) 在 x = g(a) 時可微分
→ arrenwu     : 連鎖律要證明的是 h(x) 在 x=a 可微分
→ musicbox810 : h(x)=f(g(x))，我誤把f'(g(a))看成h'(a)了..謝謝a大
推 arrenwu     : 其實這段寫起來是滿混亂的 因為合成函數大家使用的
→ arrenwu     : 時候通常滿隨興的
→ musicbox810 : ERT大出的練習我寫看看，請ERT大幫我看看。
→ musicbox810 : 假設g'(a)!=0，因為g(x)可導，g'(a)-ε<(g(x)-g(a))
→ musicbox810 : /(x-a)<g'(a)+ε，但是情況二表示在我剛剛寫的可導
→ musicbox810 : 區間0<|x-a|<δ內存在x=x'使得g(x')=g(a)，所以會發
→ musicbox810 : 生可導條件|0/(x-a) - g'(a)|<ε for all ε，但是
→ musicbox810 : 若g'(a)!=0，就沒辦法滿足for all ε>0，|g'(a)|<ε
→ musicbox810 : 的條件
→ musicbox810 : 請幫忙檢查一下這個證明方式對不對？還想請教ERT大
→ musicbox810 : 不可微的定義要怎麼寫？
→ musicbox810 : 存在一個正數ε，找不到任何正數δ使得0<|x-a|<δ內
→ musicbox810 : 的所有x都滿足|(g(x)-g(a))/(x-a)-某數|<ε嗎？是這
→ musicbox810 : 樣嗎？還是有更精簡的論述？太複雜了
那個練習證明可以這樣寫
若f'(a)=L≠0，則
For all ε>0 there exists a δ>0 for all x s.t.
0<|x-a|<δ => |[f(x)-f(a)]/(x-a)-L|<ε
取 ε=|L/2| 且取f(x)=f(a)的x 易知上述不可能

上述的否定為
There exists an ε>0 for all δ>0 there exists an x s.t.
0<|x-a|<δ and |[f(x)-f(a)]/(x-a)-L|≧ε

("若P則Q"的否定是"P且非Q")

極限
lim  (f(x)-f(a))/(x-a)=L 的正式定義是
x→a

For all ε>0 there exists a δ>0 for all x s.t.
0<|x-a|<δ => |[f(x)-f(a)]/(x-a)-L|<ε

上述的 for all x 通常會省略
但是否定敘述的 there exists an x 不能省略
其中 ε、δ、x都是啞變數
※ 編輯: ERT312 (111.255.199.140 臺灣), 12/17/2024 23:07:41
可微的話上述的L也要變成啞變數
There exists a L for all ε>0 there exists a δ>0 for all x s.t.
0<|x-a|<δ => |[f(x)-f(a)]/(x-a)-L|<ε

不可微就是上述的否定，很長一串 XD
※ 編輯: ERT312 (111.255.199.140 臺灣), 12/17/2024 23:19:49
※ 編輯: ERT312 (111.255.199.140 臺灣), 12/17/2024 23:33:46
推 musicbox810 : 謝謝ERT大，有稍微懂了一些
→ ERT312      : 你的想法是對的 不過在證明 there exists ... 時
→ ERT312      : 習慣上會把它找出來(寫出來)