→ musicbox810 : m大的方法比較直觀，容易了解 01/10 12:10
※ 引述《kkman162 (不怕是一種幸福)》之銘言：
: 再麻煩大大了
: 有一個圓內接四邊形AB=3 BC=4 CD=5 DA=6
: 若向量AC= m*向量AB+ n*向量AD
: 求 m/n
應該可以算是純向量運算的解法
獻醜了
首先因為ABCD為圓內接四邊形, 對角互補
角C=pi-角A
=> 向量CB．向量CD/|CB||CD| = - 向量AB．向量AD/|AB||AD| = k
然後把向量CB, 向量CD 都用向量AB, 向量AD來表示:
向量CB= 向量AB - 向量AC =（1-m)向量AB - n向量AD
向量CD= 向量AD - 向量AC = -m 向量AB + (1-n)向量AD
最後分別計算 CB, CD的絕對值和內積:
|向量CB|^2= (1-m)^2 |向量AB|^2 +n^2 |向量AD|^2 + 2(m-1)n 向量AB．向量AD
=> 9(m-1)^2+36n^2 - 36k(m-1)n=16 ... (1)
|向量CD|^2= m^2 |向量AB|^2+(n-1)^2 |向量AD|^2 + 2m(n-1) 向量AB．向量AD
=> 9m^2+36(n-1)^2 - 36km(n-1)=25 ... (2)
向量CB．向量CD = m(m-1)|AB|^2+n(n-1)|AD|^2+((m-1)(n-1)+mn)向量AB．向量AD
=> 9m(m-1)+36n(n-1) - 18k((m-1)(n-1)+mn) = 20k ... (3)
(1),(2),(3) 展開後可以把 m, n 都消掉
得 k = -1/19
代回去得 (m,n) = (95/63,38/63) or (-35/117, 22/117)
多出一個解是因為 角C = pi + 角A 的凹四邊形也滿足
向量CB．向量CD/|CB||CD| = - 向量AB．向量AD/|AB||AD|
但並非圓內接四邊形
而凸4邊形 m, n 一定是正的
因此前者才是我們要的解
=> m/n = 5/2
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※ 編輯: mantour (36.224.63.237 臺灣), 01/09/2025 22:58:47