Re: [中學] 請問數A的綜合題

[deathcustom (Full House)]

※ 引述《jenshi (小旭)》之銘言：
: 請問今年數A最後面的綜合題，第一題旋轉矩陣如果不會，有辦法直接算後2題嗎
: 萬一不行，是不是變成第一題不會、3題都不會、15分就沒了的情形
: 這樣是否表示旋轉矩陣很重要？謝謝大家

旋轉矩陣基本型

[cosA -sinA]
[sinA  cosA]

只要記得這個基本型，就會知道M21=-M12，18題直接選(2)-1

但是如果你不記得這個東西，你就必須現場推導

[a b][x]   [ax+by]
[c d][y] = [cx+dy]

(a^2+c^2)x^2 + 2(ab+cd)xy + (b^2+d^2)y^2 = x^2+y^2

ab+cd =0
a^2+c^2 = b^2+d^2 = 1

這樣的結構，又跟角度有關，所以先想到a跟c分別是cos跟sin(或反過來)

(以下推導過程省略)

19題

旋轉矩陣的基本就是長度不變方向變

當你把原向量的[x]分量當作最終向量的[y]分量，想一下...........轉了多少度?

就是轉了90度，那要轉90度的話，最終向量的[x]分量會是原向量的[y]分量*(-1)
(上面這個不用推cos/sin整體矩陣而是單獨考慮A^2]

             [0 -1]
所以A^2=B^3= [1  0] = 轉90度

A^3 = 轉135度

B^4 = 轉120度

Q = (-sqrt(2),0) = sqrt(2)Arg(180deg)

R = sqrt(2)Arg(300deg)

所以R跟(1,0)夾角為300度或是60度

這部分，寫出上面的東西大概可以拿到部分分數(因為不是用cos/sin寫算式)

如果作圖的話應該六分可以拿到四分以上

20夾角的部分一樣如上可以寫出來，至於S點座標就看你能不能耐心寫(但是三分太少)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 211.23.191.211 (臺灣)
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※ 編輯: deathcustom (211.23.191.211 臺灣), 01/22/2025 11:32:05
推 ERT312      : 旋轉矩陣不是這樣推的吧 你的角度在哪裡?
→ deathcustom : 你是說18題的部分嗎?對於不知道的小朋友來說她只能
→ deathcustom : 假設abcd喔(因為他不確定sin/cos的位置跟領導係數)
→ deathcustom : 另一個狀況是用和角公式代進去，但是相信我，有人連
→ deathcustom : 和角公式都記不住(hold)
→ deathcustom : 站在一個全知的角度說該怎麼推導，這是後見之明
站在記得和角公式的角度

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

初始向量v為R(cosA,sinA)

逆時針轉B度

則最終向量v'應該是R(cosAcosB-sinAsinB,sinAcosB+cosAsinB)

Rv = v'

整理得到
    [cosB -sinB]
R = [sinB  cosB]

這樣推導很快，但是如果學生沒記住和角公式

起碼我們可以假設他記得cos^2(B)+sin^2(B) = 1

想了一下，對於不記得和角公式的小朋友，可以這樣(如果他想得到的話)

任意向量 V = Xu+Yv (u跟v分別為(1,0), (0,1))

RV = XRu+YRv

分開討論uv的旋轉可以得到

考慮旋轉B度

Ru = (cosB,sinB)
Rv = (-sinB,cosB)
  [a b]
R=[c d]

Ru = (a,c)
Rv = (b,d)

所以
    [cosB -sinB]
R = [sinB  cosB]

如果又不會和角，又想不到這個"superposition"方法的小朋友

就很遺憾只能回到上面慢吞吞地推導
※ 編輯: deathcustom (211.23.191.211 臺灣), 01/22/2025 15:34:05
→ musicbox810 : 其實d大一開始的證法也沒有錯，有一種向量的定義就
→ musicbox810 : 是在旋轉變換下保長的物件，由此可以得到d大的關係
→ musicbox810 : 式，只是最後可能還是要代值決定cos和sin裡面的變數
→ musicbox810 : 與平面空間的角度關聯