Re: [中學] 請問數A的綜合題

[arrenwu (最是清楚哇她咩)]

※ 引述《jenshi (小旭)》之銘言：
: → musicbox810 : 線性變換跟矩陣表示不是等價的嗎？                  01/23 22:38
: → musicbox810 : 可以請幾位大大開示一下嗎？我這部分可能沒有學好    01/24 07:20

: → musicbox810 : E大的意思我懂。我可能沒有說清楚，想問的是要怎麼   01/24 11:13
: → musicbox810 : 證明矩陣是一種線性變換？                          01/24 11:14
: → musicbox810 : 因為我以前在教科書上書本直接用矩陣乘開後的結果當  01/24 11:14
: → musicbox810 : 作線性變換的定義，所以是當成同一回事，連證明互為  01/24 11:15
: → musicbox810 : 等價的動作都沒有，所以我才突然驚覺該怎麼證明      01/24 11:15
在Vector Space上的線性變換跟 矩陣表示 確實是等價的沒錯

你在問的問題其實是：怎麼證明 旋轉 的行為是一個對座標的線性變換？

首先，讓我們寫出 旋轉 的公式

        給定一個點 P(x,y)，距離原點為r，與x軸逆時針夾角為θ。
        將P順時針旋轉 φ後，請問P的座標為何？

原本

x = rcosθ
y = rsinθ

旋轉後的座標 (x', y') 則為

x' = rcos(θ+φ)
y' = rsin(θ+φ)

用三角函數的和角公式展開整理可以得到

x' = rcosθcosφ - rsinθsinφ = cosφx - sinφy
y' = rsinθcosφ + rcosθsinφ = sinφx + cosφy

所以如果我們把 旋轉φ 寫成函數 f_φ，
則可以得到

f_φ((x,y)) = (cosφx - sinφy, sinφx + cosφy)

好，下一步就是證明 f_φ 是線性變換

主要需要證明兩點

(1) 給定任意兩點 (x1, y1) 和 (x2, y2)，
    我們都有 f_φ((x1,y1)+(x2,y2)) = f_φ((x1,y1)) + f_φ((x2,y2))

(2) 給定任意一點 (x,y) 以及常數 c，
    我們都有 f_φ((cx, cy)) = cf_φ((x, y))

這個很直白啦，自己嘗試做做看吧


不過要證明線性的函數可以寫成一個等價的矩陣，
還需要證明二次元座標是個 vector space。

但是啦，只是要得到旋轉的公式，不需要知道任何線性代數的知識。

另外，因為沒有引入 vector space，高中的矩陣跟沒教一樣。
本質上就是把一些關係式的係數寫成長方形的樣子
所有的問題，你不知道"矩陣"仍然都做得出來

--
角卷綿芽 五周年紀念套組
https://i.imgur.com/k9SZ73Z.jpg
預購時間：預購開放至 2025/02/03 下午五點
預購連結：https://bit.ly/4j6AXIg

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 98.45.195.96 (美國)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1737698444.A.0E9.html
→ musicbox810 : 謝謝a大，喚醒了我記憶中線性空間的定義，我竟然連
→ musicbox810 : 最基本的定義都忘掉了...
→ musicbox810 : T(au+v)=aT(u)+T(v)
推 Vulpix      : 只要無窮小旋轉是就是了。
→ musicbox810 : 什麼意思?
→ musicbox810 : V'=V-φLV?
→ mantour     : 三維的有限旋轉就不是線性的，先以x軸轉90度再以y
→ mantour     : 軸轉90度，跟先以y軸轉90度再以x軸轉90度的結果不
→ mantour     : 一樣
→ mantour     : 不知道V大講的是不是這件事
→ musicbox810 : 那樣比較像是不互易的問題
→ mantour     : 對耶 是我搞錯
→ topstr      : 高中連Markov matrix也有教,這輩子從來沒應用過,
→ topstr      : 哪來高中沒教過vt. space,就不算學過矩陣,
我說的是「跟沒教一樣」

「算不算學過矩陣」不是有意義的問題
→ topstr      : 那沒學過1+1=2的證明,就是沒學過數學嗎！？
有人這樣說嗎？
→ topstr      : 高中微積分沒教δε,所以高中沒教微積分！！
有人這樣說嗎？
→ topstr      : 那是不是高中也要去學Godel不完備定理,才叫學過數學
有人這樣說嗎？
→ topstr      : 高中沒教Einstein eq.高中重力理論跟沒教一樣.
有人這樣說嗎？
→ topstr      : 牛頓沒學過δε證明,所以他不會微積分！？
有人這樣說嗎？
→ topstr      : 所以高中應該搞Bourbaki那一套抽象化,不需要直覺慢
→ topstr      : 慢逐漸建立起數學觀念！?
有人這樣說嗎？

不好意思，我其實最想知道的事：你說的這些跟我的文章有衝突的部分嗎？
噓 topstr      : 你是第2個說沒學vt.sp.跟沒教matrix 一樣
噓 topstr      : 凸顯你論點的荒謬,照你那樣說,不就類比
→ topstr      : 老師沒教,學生沒學 不就同樣情況.
你要說跟沒學過矩陣一樣倒是沒啥問題。

只是我還是有同樣的問題：你說的這些跟我的文章有衝突的部分嗎？

你與其舉那些不太好懂的例子，還不如說明：
        高中矩陣課程內容能幫助學生解什麼本來不好解或近乎無法解決的問題？
※ 編輯: arrenwu (98.45.195.96 美國), 01/28/2025 10:18:32