※ 引述《deathcustom (Full House)》之銘言：
: ※ 引述《hero010188 (我是海賊王)》之銘言：
: : https://i.imgur.com/RgCksi8.png
: : 感謝~
: lim n[1/(n+1)^2 + 1/(n+2)^2 +...+1/(n+n)^2]
: n→∞
: =lim (1/n){[n/(n+1)]^2 +[n/(n+2)]^2+...+[n/(n+n)]^2}
: n→∞
: 黎曼和
: 2 2
: =∫dx/x^2 = -1/x|
: 1 1
: = -1/2 - (-1/1) = 1/2
: #
: 這個寫法裡面是將解黎曼和的過程寫出來，其實跟Honor大的過程等價
: 另外，如果把這個算式直接丟chatgpt其實就可以看到類似的過程
: 也可以理解為什麼這兩個解法等價
用夾的
n[1/(n+1)^2 + 1/(n+2)^2 +...+1/(n+n)^2]
< n[1/(n(n+1)) + 1/((n+1)(n+2)) + ... + 1/((n+n-1)(n+n))]
= n[1/n-1/(n+1)+1/(n+1)-1/(n+2) + ... + 1/(n+n-1)-1/(n+n)]
= n[1/n-1/2n] = 1/2
又
n[1/(n+1)^2 + 1/(n+2)^2 +...+1/(n+n)^2]
> n[1/((n+1)(n+2)) + 1/((n+2)(n+3)) + ... + 1/((n+n)(n+n+1)) ]
= n[1/(n+1) - 1/(n+2) + 1/(n+2) - 1/(n+3) + ... + 1/(n+n) - 1/(n+n+1)]
= n[1/(n+1) - 1/(2n+1)]
= n^2/((n+1)(2n+1)
= 1/((1+1/n)(2+1/n))
而
lim 1/((1+1/n)(2+1/n)) = 1/2
n->∞
下界和上界的極限相等
由夾擠定理得證所求極限為1/2
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※ 編輯: mantour (36.224.33.70 臺灣), 03/06/2025 23:25:07