前言：
前文請看箱中球悖論（上）篇。本篇（中）篇呈現更多論點，提供讀者思考。箱中球悖論等價羅斯-利特爾伍德悖論（Ross-Littlewood paradox，
也稱為球和花瓶問題，乒乓球問題），（下）篇具體說明這個悖論揭露的現代數學基礎思想本質。
Ross–Littlewood paradox（羅斯—利特爾伍德悖論）:
https://en.wikipedia.org/wiki/Ross–Littlewood_paradox#Vase_contains_infinitely_many_balls
（上）篇：https://www.pttweb.cc/bbs/Math/M.1741953643.A.430
（中）篇：https://dreamchen-2025-github-io.pages.dev/20250321/箱中球悖論（中）
箱中球問題（原型）：
有一個空箱，甲乙兩人輪流向箱子放球、取球，每輪甲先放進兩顆球，接著乙取出一顆球。
第一輪耗時 1 分鐘，之後每輪用時減半，總耗時是無窮等比級數，經過無窮多輪，
全部過程在兩分鐘時停止，之後箱中球數不再變化。請問「最終箱子裡會有多少球」？
進階問題（二）：
箱中球問題中的最終球數，以下己認為合理假設每輪獨立、均勻隨機取球，「箱子裡最終有球的機率是 0」。
庚認為條件不足沒有唯一解，但可以增加限制，設計取球規則使得「最終是任意預設球數」。
路過的辛認為「最終球數是量子疊加態」，觀察才知道。請問誰的想法合理？誰的想法不合理？哪裡不合理？
想法四（己，機率學家）：
己說合理取球方式，是乙從箱子中所有球「均勻隨機」取出一球，且每輪取球是「獨立」
事件，這樣「最終箱子裡有球的機率是 0」。
- 假設：第 r 輪甲先放進 2r-1, 2r 號球，然後乙從箱子中均勻隨機取出一球，每輪取
球獨立事件。
- 命題：最終箱子裡有球的機率是 0。
- 引理：最終 k 號球留在箱中的機率是 0。
+ 引理證明：
1. 以 1 號球為例，顯然第一輪取球後，1 號球留在箱中的機率是 1/2。假設第 r (≧
2) 輪開始 1 號球仍在箱中，甲放球後箱中球數為 (r-1)+2=r+1，乙取球後 1 號球還留
在箱中的條件機率是 1-1/(r+1) = r/(r+1)。以上第一輪機率外，其它為單輪條件機率。
2. 令 r = 1, 2, …, N，得到的(條件)機率分別為 1/2, 2/3, 3/4, …, N/(N+1)。將機
率連乘，得到第 N 輪結束後 1 號球還在箱中的機率是1/(N+1)。
3. 隨著 N 變大，第 N 輪後 1 號球留在箱中的機率會趨近於 0。在假設下，1 號球最終
留在箱中的機率是 0。同理可證，最終 k 號球留在箱中的機率是 0。
- 由布爾不等式和自然數可數性，可數自然數球號最終留在箱中的機率是 0。（參考
Ross-Littlewood paradox）
- 結論：「最終箱子裡有球的機率是 0。」（參考隨機取球模型補充說明）
布爾不等式：https://zh.wikipedia.org/wiki/布尔不等式
Ross–Littlewood paradox（羅斯—利特爾伍德悖論）:
https://en.wikipedia.org/wiki/Ross–Littlewood_paradox#Vase_contains_infinitely_many_balls
想法五（庚，數理邏輯學家）：
庚認為箱中球問題條件不足沒有唯一解，但可以增加取球規則（增加條件），使得最終球
數是「沒有球」、「任意K顆球」或「無窮多顆球」。說明如下：
- 取出最小球號規則：乙第 N 輪取出 N 號球（丁的想法二），等同每輪取出箱中最小球
號的球，結論是箱子裡「最終沒有球」。
- 取出偶號球規則：若乙第 N 輪總是取出 2N 號球，則所有奇號球會留在箱子中，箱子
裡「最終有無窮多顆球」。
- 留下 K 顆球規則：若規定 N≦K 時，乙取出 2N 號球，第 K 輪後會留下 1到 2K-1 號
的 K 顆奇號球；N>K 時，乙取出 K 顆奇號球外的最小球號（N+K號）。具體來說，第
K+1 輪時，取走 N+K=2K+1 號球，第 K+2 輪時，取走 N+K=2K+2 號球，依此類推。因
此除了 1 到 2K-1 號的 K 顆奇號球，最終會取走 2K 號以上的所有球，所以箱子裡「最
終有 K 顆球」。
想法六（辛，量子物理學家）：
此時路過的量子物理學家辛說，遇事不決，量子力學。數學家箱子裡的球，或許跟薛丁格
的貓一樣，需要開箱才知道真正狀態！辛進一步闡述：
- 問題原型中描述的放球、取球（客觀）動作，並不包含放球、取球的（主觀）編號規定
。增加編號規定就是增加限制，得到的是子問題的解。
- 子問題的解有許多可能，例如最終「無球」、「任意K顆球」或「無窮多顆球」的結論
都可能。
- 因此問題原型的完整解，最終球數或許可以用量子疊加態來解釋，需要觀察才能確定。
隨機取球模型補充說明：
想法四中從箱中均勻隨機取球且每輪獨立的模型（簡稱隨機模型），可用決策樹模型理解
相關特性。
- 第 N 輪的分支總數為 (N+1)!，也是第一輪到第 N 輪的路徑總數。因為乙取球時，第
r 輪有 r+1 種選擇。第 1, …, r, …, N 輪時，分別有 2, …, r+1, …, N+1 種選擇
。（由獨立性）相乘得到 (N+1)!。箱子內所有球的組合（以下簡稱球組）是 2N 顆球扣
除乙取走的 N 顆球。不同取球路徑下，球組可能相同。
- 第一輪結束後有 {1}, {2} 兩種球組。第 2 輪結束後有 5 種球組，但球組 {3, 4} 有
兩條路徑，因為乙可以第一輪選 1 號球，第二輪選 2 號球，或者反過來第一輪選 2 號
球，第二輪選 1 號球。其他球組 {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4} 各一條路徑。第一
輪到第 10 輪的球組總數分別為 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786
。
- 每個球組的路徑總數和發生機率成正比。設球組 {6, 7, 8, 9, 10} 時，乙取走的球是
1, 2, 3, 4, 5 號球，有 36 = 2*3*3*2*1 條路徑，乙第一輪有 2 種選擇，在 1, 2 號
球中選擇。乙第二輪只有3種，不可選第一輪的球號和 5 號球。第三輪也有 3 種，不可
選第一、二輪選過的球號，同理第四輪剩 2 種，第五輪剩 1 種。球組 {6, 7, 8, 9,
10} 發生機率是球組 {1, 3, 5, 7, 9} 的 36 倍，因為球組 {1, 3, 5, 7, 9} 只有一條
路徑，就是乙依序取走 2, 4, 6, 8, 10 號球。
以下隨機模型的特性，只陳述不說明解釋，有興趣讀者可自行推導驗證。
- 第 r 輪出現的球號，在第 N 輪球組中的球號出現次數，#(2r-1) = #(2r) 正比 r（
#n 表示球號 n 出現的次數，需考慮機率權重）。例如第二輪球組 {1, 3}, {1, 4},
{2, 3}, {2, 4}, {3, 4}*2 中，#1 = #2 = 2，#3 = #4 = 4，#1 : #2 : #3 : #4 = 1
: 1 : 2 : 2。依此類推，第 r 輪球組中，球組中的球號出現機率（正比出現次數），和
輪數 r 成正比。
- 令 E[r] 表示第 r 輪後球組的期望球號，意味從第 r 輪 r 顆球中，只取一球的期望
球號。遞迴公式為 (r+1)E[r]= (r-1)E[r-1]+4r-1。通式為E[r]=(1+8r)/6。第一輪到第
五輪的期望球號分別為 3/2, 17/6, 25/6, 11/2, 41/6。
- 雖然隨機模型性質良好，隨著 N 趨近無窮，許多機率極限存在，但不意味極限隨機模
型就必然存在。例如能在 {1, 2, …, N} 上假設均勻分布，但在所有自然數上假設均勻
分布是無法做到的。
- 隨著 N 變大，任意有限 K 顆球完全被取走的機率會趨近於 1，其中一顆留在箱中的機
率會趨近於 0。本文中「最終箱子裡有球的機率是 0」，解釋為「最終箱子裡有任意有限
K 顆球之一的機率是 0」，或是「最終取走任意有限 K 顆球的機率是 1」 比較合適。
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At the end, it never ends.
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.69.12.24 (臺灣)
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※ 編輯: ginstein (59.124.86.31 臺灣), 03/21/2025 22:10:06