Re: [其他] 箱中球悖論（上）

[ERT312 (312)]

※ 引述《arrenwu (最是清楚哇她咩)》之銘言：
: ※ 引述《ginstein (邁向學術之路)》之銘言：
: : 箱中球問題（原型）：
: : 有一個空箱，甲乙兩人輪流向箱子放球、取球，每輪甲先放進兩顆球，接著乙取出一顆球
: : 。第一輪耗時 1 分鐘，之後每輪用時減半，總耗時是無窮等比級數，經過無窮多輪，全
: : 部過程在兩分鐘時停止，之後箱中球數不再變化。請問「最終箱子裡會有多少球」？
: : 不好意思隔了這麼久才回覆 A 大，反問 A 大，兩分鐘那一刻，
: : 理論上經過了所有自然數回合，結束後不再放球、取球，球數不再變化應該合理吧？
: : 推 arrenwu     : 我覺得丙的想法最正常，但"無窮多"跟"數量不再改變"  03/15 08:51
: : → arrenwu     : 在我看起來是相互矛盾的敘述                        03/15 08:51
: : → arrenwu     : 丁戊的推論是基於"數量不再改變"這個沒被證成的敘述  03/15 08:52
: : 可能 A 大是潛無窮主義者，認為無窮增加、變化，永無止盡才是無窮。
: : 敢問 A 大認可存在所有自然數集合嗎？如果自然數是無窮無盡的...
: 讓我們量化地描述這個過程
: 1. 定義 X(t) = t分鐘時箱子裡面球的個數 for t in [0,2).
: 2. 每一輪的最後一瞬間，甲乙會完成他們該輪的行動。
: 由上面兩條可得到 X(2-1/(2^(k-1))) = k for k in {1,2,3,4,5,6,........}
: 那我們就可以很明確地得到
: lim X(2) = ∞  (這是個函數的極限，所以無窮大在這裏有明確意涵)
: t->2
: 現在我的問題是：所以你要怎麼定義 X(t) for t in [2,∞) ？
: 這會直接關係到你題目中的"兩分鐘時停止，之後箱中球數不再變化"是什麼意思
這個悖論的高明之處(或說狡猾之處)
就是不在題目明確定義X(2)
讓作題者自己定義"最後的箱子"是什麼
(自己應該會覺得自己的的定義比別人的定義合理)
然後讓自己感受這悖論的威力

然而原PO除了沒定義最後的箱子之外
也沒明確說明放的球有沒有編號以及如何取球
板上搜尋"悖論"可找到類似的題目
為了讓問題簡化純粹我稍微改動一下題目
改成一位儲戶向銀行存入兩個有編號的硬幣
然後再取出一個編號最小的硬幣
第一輪存入{1,2}取出{1}，結餘{2}
第n輪存入{2n-1,2n}取出{n}，結餘A_n={k|n+1≦k≦2n}
這個銀行是實際幫儲戶保管這些金幣
而不只是給一個存款數字
其餘條件照舊然後問兩分鐘後儲戶在銀行有多少金幣

有學過集合論的人可能會把兩分鐘後的銀行帳戶定義成
A=lim A_n = lim inf A_n = lim sup A_n
  n→∞     n→∞         n→∞
如果A存在的話
此題的A恰好存在
lim sup A_n = ∩  ∪  A_k = ∩ {k|k≧n+1} = 空集合
n→∞        n≧1 k≧n     n≧1


好了，現在假如你是這位儲戶
你很努力地存兩塊取一塊(每次都淨存入一塊)
在兩分鐘以前，你的銀行存款一直增加
而且是以一個沒有有限上界的速度暴增
但是兩分鐘一到銀行跟你說你的錢全沒了
你會選擇吞下去還是跟銀行打官司
如果選擇打官司
那你要如何定義兩分鐘後的銀行帳戶

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→ mantour     : 這個例子中 lim card(An) ≠ card(lim An)
→ mantour     : 請教等號成立是否有具體的條件
→ mantour     : 跟銀行簽約的時候要寫明是返還{An} 還是返還與
→ mantour     : card(An) 相同數量的金幣
→ mantour     : (不過好像還是要講明是先取哪個極限XD)
要回答這個問題之前要先定義這裡的極限是什麼意思
比如說若
∩   ∪  A_k = ∪   ∩  A_k = A
n≧1 k≧n     n≧1  k≧n

則定義 lim A_n = A
      n→∞
這種定義不用 metric space 也沒有三角不等式可用
跟微積分的極限不太一樣
但這個定義同樣可以用 inf(最大下界) sup(最小上界) 的思路來想
因為集合本身的包含於(inclusion)就定義一個偏序
我們會希望這個極限A若存在，對於每個n
∪  A_k 都會是A的上界
k≧n
而這些上界的最大下界也是A的上界
∩   ∪  A_k ≧ A
n≧1 k≧n
同理
∪   ∩  A_k ≦ A
n≧1 k≧n
所以若
∩   ∪  A_k = ∪   ∩  A_k
n≧1 k≧n     n≧1 k≧n
就把極限定義為A，有點像夾擠

那對基數取極限又是什麼意思
若像集合論把基數也看成集合，而且是唯一的
也就是若集合a是A的基數，集合b也是A的基數 則a=b
那對基數取極限的定義就同上
但是#An與An可能是完全不同的集合
極限會不一樣也就不奇怪
集合論中的有限集的基數就用自然數表示
自然數又從空集合出發利用遞迴方法定義
0={},1={0},2={0,1},3={0,1,2},....
所以 #A_k=k (k是自然數)
∪   ∩ #A_k = ∪   ∩ k = ∪ n = N (自然數集)
n≧1 k≧n     n≧1 k≧n   n≧1

那兩分鐘一到，銀行到底該歸還空集合還是N
從儲戶的角度看的是#A_n，他看到#A_n一直增加
從銀行的角度看的是A_n，畢竟銀行確實保管儲戶所有的金幣
而不是帳簿上的數字
每一個被儲戶存進去的金幣最後也確實都被親手取走
儲戶會抗議他每次都淨存入一個金幣，最後怎麼都消失
但銀行也有其合理的說法
雖然最後儲戶存入了無限多金幣
但同時也取走了無限多金幣
※ 編輯: ERT312 (111.255.220.243 臺灣), 03/24/2025 18:58:06
→ mantour     : 因為An都是有限集合 所以基數是自然數
→ mantour     : 所以我直接把基數的極限想成自然數數列的極限
→ mantour     : 在這裡就是發散或是某種定義下是正無限大
推 ginstein    : 銀行存錢提款的想法很棒,讚一個!
→ mantour     : 不過E大的定義感覺更好
→ ginstein    : 另外,也許人習慣用自己熟知的語言重述認知,
→ ginstein    : 也許核心問題所在,不是X(2)定義,不是極限等問題
推 arrenwu     : 不是X(2)的定義的話 那你問題是想問什麼啊？