[微積] 三次函數之切線數

[tzhau (生命中無法承受之輕)]

設三次多項式函數 f(x)=ax^3+bx^2+cx+d , a不為0 , b^2-3ac>0 ,

設P為平面上任一點(可在函數上也可在函數外)

則過P對三次函數做切線的切線數有幾種可能? 又此時P會在何處?


我的想法是可能有一條、兩條與三條，但無法嚴謹證明

且麻煩的是也無法說明當切線有一條兩條與三條的時候P會在哪裡



謝謝

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→ mantour     : 平面上的線性變換不改變圖形之間的相切關係，所以
→ mantour     : 只要證明一種3次曲線（例如y=x^3)就可以了，然後求
→ mantour     : 出的P點範圍再用對應的線性變換換過去
→ mantour     : 等下我錯了 再想一下
→ mantour     : 應該沒問題 可以先對x做變數變換x=x'+b/3a, 化為 y
→ mantour     : =x'^3+px'+q, 再對y做變換y'=y-px'-q，就化為y'=x'
→ mantour     : ^3，兩個變換都不會改變切線關係。
→ mantour     : 更正： x=x'-b/(3a)
→ mantour     : 而y=x^3過任意點P的切線數是應該是：y（y-x^3)<0時
→ mantour     : 有兩條，其他時候一條，應該不會有3條。
推 LPH66       : y' 變換改變了 b^2-3ac>0 的條件了吧?
→ mantour     : 對，這個變換其實就是把反曲點的切線當成x軸，P點
→ mantour     : 相對這個新軸的位置跟切線數的關係不變
→ mantour     : 結論b^2-3ac>0或<0都適用
→ hwanger     : https://postimg.cc/YjqtMTYB
→ hwanger     : https://postimg.cc/34Nfbj4V
→ tzhau       : 感謝有回覆的版友們
→ mantour     : 我又錯了，P夾在反區點切線和圖形之間的區域有三個
→ mantour     : 切點，在線上或反曲點切線上（除了反區點之外）有
→ mantour     : 兩個，在曲線及反曲點切線上方或下方和反曲點是一
→ mantour     : 個才對