Re: [微積] 三次函數之切線數

[TimcApple (肥鵝)]

※ 引述《tzhau (生命中無法承受之輕)》之銘言：
: 設三次多項式函數 f(x)=ax^3+bx^2+cx+d , a不為0 , b^2-3ac>0 ,
: 設P為平面上任一點(可在函數上也可在函數外)
: 則過P對三次函數做切線的切線數有幾種可能? 又此時P會在何處?
: 我的想法是可能有一條、兩條與三條，但無法嚴謹證明
: 且麻煩的是也無法說明當切線有一條兩條與三條的時候P會在哪裡
: 謝謝



設 f(x) 為二次連續可微函數，設 f''(x)=0 的根 x_1, ..., x_n 為有限多個

設 T_f[I](P) 為通過點 P 且和 y = f(x) 限制在範圍 I 上圖形相切的 L 的數量

當 I 為全實數時，即為本題所求 T_f，且明顯 T_f 可以分段相加


(Lemma 1)
設 f(x) 在 (c-e, c+e) 上可微，且過 x = c 的切線為 L

則 T_f[{c}] =
1  (在 L 上)
0  (其他)


(Lemma 2)
設 f(x) 在 I = [a, b] 上連續
在 I_0 = (a, b) 上二次可微，且對任意 a<c<b 皆有 f''(c) > 0

設 L_a, L_b 為過 x=a, x=b 的切線
設 R 為 L_a, L_b, f|I 圍成區域，不含邊界
設 dR 為 R 的邊界，但不含 L_a, L_b, f|I 彼此的交點
設 S 為 L_a, L_b 切割四區域中，不相鄰且都不包含 f|I 的兩區域

則 T_f[I_0] =
2  (在 R 上)
1  (在 dR 或 S 上)
0  (其他)

若 a->-inf 將 L_a 視為 x=-inf，若 b->inf 將 L_b 視為 x=inf
條件中的 f''(c) > 0 可改為 < 0






利用以上引理，設 y = f(x) 為三次函數
設 x=c 上有反曲點，L 為過反曲點的切線，I_0 = {x<c}，I_1 = {x>c}

則 T_f[I_0] =
2  (在 f|I_0 與 L|I_0 圍成區域不含邊界)
1  (在 f|I_0 或 L|I_0 上但不在反曲點上，或是位於 L 右側)
0  (其他)

T_f[{c}] =
1  (在 L 上)
0  (其他)

T_f[I_1] =
2  (在 f|I_1 與 L|I_1 圍成區域不含邊界)
1  (在 f|I_1 或 L|I_1 上但不在反曲點上，或是位於 L 左側)
0  (其他)


因此可得 T_f =
3  (在 f 與 L 圍成區域不含邊界)
2  (在 f 或 L 上但不在反曲點上)
1  (反曲點以及其他區域)



Lemma 2 雖然直觀但我沒有想到嚴格證明，可能需要板友補充


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→ tzhau       : 感謝
推 LimSinE     : 若f有公切線那可加性有問題，但這要deg>=4才會出現
推 cmrafsts    : 我想lemma2就你比較f'(x)與P連到(x,f(x))的割線斜率
→ cmrafsts    : 第一個嚴格遞增，然後證明第二個根據範圍有特定長相
推 cmrafsts    : 另外我覺得既然只有三次，直接用代數解切線斜率也
→ cmrafsts    : 可能可行？