[中學] 三角形線段長問題

[bernard0929 (笨熊康誥)]

題目來源：2024澳洲AMC中學中級卷#30

英文原題：

A triangle, △ABC, has sides AB = 18, AC = 24, and BC = 30.
Point P is on side　AB and a line is drawn through P
so that half of the perimeter of △ABC lies on each side of the line
and half of the area of △ABC lies on each side of the line.
What is the square of the distance CP?

主辦單位中文翻譯：

在三角形ABC中， AB=18，AC=24，BC=30。
點 P 位於 AB 邊上，過點 P 作一條直線。
這條直線將 △ABC 的周長與面積平分。
請問 CP 長度的平方是什麼？

參考答案：６３０

因學生只有國中程度，還沒接觸三角函數與海龍公式；
目前想以勾股定理及設未知數求解，無法正確得到答案。
再麻煩各位指點，不勝感激，謝謝大家。

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→ Ricestone   : 直線沒有其他要求的話，無論P在哪裡都能找到滿足平
→ Ricestone   : 分面積的直線（通過重心）   喔不對我突然想錯了
→ Ricestone   : 可以用直角座標弄通過重心座標與P(x,0)的直線的截
→ Ricestone   : 距來算嗎？
→ Ricestone   : 過程只用到二元一次方程式以及一元二次方程式
→ Ricestone   : 啊不對，雖然截距能算交AC的，但應該交BC的樣子
→ Ricestone   : 這樣算起來麻煩許多
→ Ricestone   : 喔不對我根本想錯了，過重心不一定平分三角形面積
→ Ricestone   : 如果先知道面積等分線以及周長平分線的畫法，
→ Ricestone   : 最後可以用相似三角形得到9:(18+x)=(9-x):(12-x)
→ Ricestone   : 整理可得x^2=54  但好難啊
→ Ricestone   : 都以A點為基準，PA長度為x  主要麻煩在面積等分線
→ Ricestone   : 畫法是過AB中點M且與CP平行之直線MQ交BC於Q，則PQ
→ Ricestone   : 就是面積等分線（蝶形CQPM兩個三角形等面積）
→ Ricestone   : 再配合周長平分線可知BQ=18+x CQ=12-x MQ=9-x
→ Ricestone   : 上面不是MQ，是MP
→ freePrester : 為什麼我算答案是 432…
→ freePrester : 沒事，我看錯了