Re: [中學] 想問一題國二下的題目

[arrenwu (最是清楚哇她咩)]

※ 引述《kill801113 (醉落人間)》之銘言：
: https://i.imgur.com/QXLwHls.jpeg
: 題目如圖，答案是A。
: 我的問題是我能理解為什麼答案是A
: 不過解釋起來卻感覺沒有合理的定理
: 或者夠強大的條件
: 再麻煩各位版友了
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: Sent from JPTT on my iPhone


令總路線長度 Z = OA + OB + OC + AB + BC + AC
並且令 Z1, Z2 ,Z3 分別代表 路線1, 路線2, 路線3 的長度

路線一長度 Z1 = OA + OB + AC + BC = Z - (AB + OC)
同理，Z2 = Z - (BC + OA)
      Z3 = Z - (AC + OB)

所以比 Z1, Z2, Z3 誰最長(路程最遠)，
等於是在比 AB + OC, BC + OA, AC + OB 三個線段和誰最小？

定理1： BC + OA > AB + OC
從題目敘述已知道 BC > AB，故我們可以在 BC上取一點 A' 使得 BA'=BA。
連線段OA'可得到下圖：
https://i.imgur.com/tOC9iLY.jpg


因為OB是角平分線，所以 ΔBOA 與 ΔBOA' 是 SAS全等，
進一步得到 OA = OA'

接著我們開始推導：
BC + OA - (AB + OC) = BA' + A'C + OA - (AB + OC)

                    = (BA'-AB)  + A'C + OA -OC

                    = A'C + OA -OC

                    = A'C + OA' - OC

                    > 0 ( A'C, OA', OC 為三角形OCA' 的三邊長)

同樣地，你也可以證明 AC + OB > AB + OC

所以 AB + OC 最小，我們可得到 路線1 最遠。

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推 kill801113  : 謝謝～忘記可以做輔助線比大小
其實我是用代數硬幹了好一大波、發現會用到 兩邊和大於第三邊 的性質後，
才在想是不是綜合幾何的手段哪邊可以簡化性質
→ musicbox810 : 請問a大代數作法要怎麼做?
令 D,E,F 分別為內心O到 BC, AC, AB 三邊的垂足
https://i.imgur.com/qZQWRc9.jpg

因為O是內心，所以O到三邊等距離。用 h表達該距離。
然後令 x = AE = AF, y = BF= BD, z = CE = CD

可解得 x = (b+c-a)/2, y = (c+a-b)/2, z = (a+b-c)/2

現在 AB + OC, BC + OA, AC + OB 三邊的比較就變成
c + √(z^2+h^2) , a + √(x^2+h^2), b + √(y^2+h^2) 的比較

然後證明 b > c  => b + √(y^2+h^2) > c + √(z^2+h^2) 即可得到結論
※ 編輯: arrenwu (98.45.195.96 美國), 06/23/2025 17:24:55
推 Vulpix      : 其實還是三角不等式。
→ musicbox810 : 謝謝，代數看起來很複雜
推 ERT312      : 代數也不會很複雜(應該國中就可以處理)
→ ERT312      : 欲證 若z>y>0 則 x+z+√(y^2+h^2)>x+y+√(z^2+h^2)
→ ERT312      : 右邊的不等式等價於 z-y>√(z^2+h^2)-√(y^2+h^2)
→ ERT312      : ={(z+y)/(√(z^2+h^2)+√(y^2+h^2))}(z-y)
→ ERT312      : 明顯{}裡面大於零小於1，得證
→ musicbox810 : 這樣其實就是三角形OBC的三角不等式耶
→ musicbox810 : 現在在想能不能從代數方法直接找到對應的幾何證法
推 Vulpix      : 用s代表半周長，則有x=s-a。
→ Vulpix      : a+√(x^2+h^2)就是自(0,0)經(a,0)至(s,h)的折線長