[其他] 每個自然數都是有限大嗎？

[ginstein (邁向學術之路)]

微積分早期時，歐拉在《無窮小分析引論》中，

直覺地使用無窮小和無窮大(包括自然數)，

啟發式推導出了許多公式，雖不嚴謹但絕大多數都是正確的。


現代數學的一個重要基礎觀點是──每個自然數都是有限大。

因為皮亞諾公理體系定義了自然數集合，並將有限集定義為對應某個自然數。

另一種方式是將自然數起點定義為有限，有限自然數的後繼亦有限，

透過數學歸納法得出每個自然數都是有限大。


那麼，從起點「不斷加一」的自然數，是永遠有限大的狀態嗎？

還是會超越有限，變成無窮大的狀態呢？

為方便用具體方式陳述，以下設自然數起點為 1，

無窮數列可表示為 x={x_n}={x_1, x_2, ..., x_n, ...}。

用 x >_a y 表示數列 x={x_n} 終究大於數列 y={y_n}

（存在自然數 N，當 n>N 時恆有 x_n>y_n）。

令數列 S={1, 2, 3, ...} 為自然數無窮數列。

稱數列 N^m 為 m 號有限自然數生成數列，

N^1={y^1_n}={1, 1, 1, ...}，N^2={y^2_n}={1, 2, 2, ...}，

m 號生成數列 N^m={y^m_n}={1, 2, ..., m-1, m, m,....}，

當足標 n<m 時分項 y^m_n=n 顯示遞增狀態，

當 n≧m 後分項 y^m_n=m 保持不變。

注意到每個數列 N^m 對應自然數 m。

集合 {N^m | m 為自然數} 對應自然數集合 {m | m 為自然數}。


顯然對任意(有限的)自然數 m 有

S={n} >_a {1, 2, ..., m-1, m, m,....}=N^m，

不斷加一的自然數終究大於任意有限自然數。

「不斷加一的自然數大過所有的有限自然數後」，

我們進一步追問的是，自然數數列 {n}={1, 2, 3, ...} 的盡頭是什麼？

所有的有限自然數後是「空了不存在」嗎？

還是「存在無窮大自然數」呢？


每個自然數都是有限大嗎？對這個重要的數學基礎觀點，你有什麼看法？

--
At the end, it never ends.

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.69.12.24 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1756785273.A.249.html
推 sunev       : 先定義有限大，再討論是否每個自然數都是有限大
推 LPH66       : 你覺得以你的 N^m 記號，「無限大」的「自然數」
→ LPH66       : 是長成什麼樣子的數列？
→ LPH66       : 為何你會認為那個數列代表「無限大」的「自然數」？
→ ginstein    : S 大，N^m 應該夠用了。L 大，稍待幾回。
推 TimcApple   : 你當然可以定義一個包含無限大的自然數集合
→ TimcApple   : 只不過那不是原版自然數 而是G版自然數而已
→ TimcApple   : 然後不能因為每個自然數之後都有自然數
→ TimcApple   : 就說同時位於所有自然數之後的數也是自然數
→ TimcApple   : 這兩個是不一樣的概念
推 ERT312      : 你的想法很有趣诶......但都有埋陷阱
→ ERT312      : 任何一個自然數都不能讓你"不斷加1"得到，只能加有
→ ERT312      : 限次。還有上一篇的"唯一"的概念雖然有個"一"，但
→ ERT312      : 應該與自然數無關吧，不然把它翻成英語 unique
→ ERT312      : 自然數在哪?
推 wrvuxci     : 這應該沒什麼問題，對，所有自然數都是有限大
→ wrvuxci     : 就是照標準定義，字面意思上理解，不用講其他的
推 arrenwu     : 這問題不如說，無限大這概念本就只對數列性質才成立
→ arrenwu     : 對於正整數來說沒有無限大的概念
→ arrenwu     : 也就是你要問 只能問像是"數列的極限是否無窮大"
→ ginstein    : 感謝諸位大大評論，部分回應稍待幾回。E大，那時想
→ ginstein    : 的是，有這個那個是同一個集才唯一，這樣有兩個，2
→ ginstein    : 的概念。不清楚是不是必要。
→ mantour     : “我家人有爸爸、媽媽、我和弟弟”，應該不需要自
→ mantour     : 然數的概念。“我家有4個人”才需要自然數的概念。
→ mantour     : “爸爸跟媽媽是不同人”也不需要數字的概念
→ ginstein    : 認知過程似乎是先認識具體的物，再抽象出數字概念
→ ginstein    : 。所以自然語言中，具體集合的概念比抽象的數字更
→ ginstein    : 基礎？
推 sunev       : 以自然語言為例，的確有些自然語言是沒有明確數字的
→ sunev       : 概念。
推 chang1248w  : 無限是個動態的過程吧，要把它符號化需要進一步處
→ chang1248w  : 理
→ wrvuxci     : 就是看cardinality，集合論中有定義
→ ginstein    : s大，印象中是沒有大數字概念, 123有的
→ ginstein    : c大說的是潛無窮, 康托爾是實無窮
→ ginstein    : w大說的是實無窮
推 sunev       : 根據維基 https://w.wiki/4Yha "Many languages
→ sunev       : around the world have no numerals above two to
→ sunev       : four"
→ backpacker18: 任何有認真修過大學微積分的人應該都能秒答這題XD
→ ginstein    : 謝謝 s 大 wiki 資料，學習了