[其他] 反直覺或反邏輯？反思箱中球悖論

[ginstein (邁向學術之路)]

以下內容摘要自「箱中球悖論（上）」。


箱中球問題（原型）：

有一個空箱，甲乙兩人輪流向箱子放球、取球，

每輪甲先放進兩顆球，接著乙取出一顆球。

第一輪耗時 1 分鐘，之後每輪用時減半，

總耗時是無窮等比級數，經過無窮多輪，

全部過程在兩分鐘時停止，之後箱中球數不再變化。

請問「最終箱子裡會有多少球」？


想法一（丙）：既然每輪甲放進兩顆球，乙取出一顆球，每輪箱子多一顆球，

經過無窮多輪，當然箱子裡「最終有無窮多顆球」。

想法二（丁）：丁假設放球取球規則如下：

第 N 輪時，甲先放進 2N-1, 2N 號球，接著乙取出 N 號球。

具體來說，第一輪甲放進 1, 2 號球，接著乙取出 1 號球。

第二輪甲放進 3, 4 號球，接著乙取出 2 號球。

第三輪甲放進 5, 6 號球，接著乙取出 3 號球，依此類推。

丁說因為第一輪取出 1 號球，第二輪取出 2 號球，

第 N 輪取出 N 號球，依此類推。兩分鐘到後，經過無窮多輪，

由皮亞諾公理可知，取出所有自然數的球號，因此箱子裡「最終沒有球」。


更多想法可參考「箱中球悖論（中）」。


箱中球問題這類悖論的根源有多種觀點，例如

「定義不良」、「敘述不清」、「條件不足」或（無窮多球的）「直覺不對」。

許多專家各有看法，目前尚無定論。


這裡補充「視而不見」的觀點。

想法二中，每輪取出本輪球號後，第 N 輪箱子裡剩下 N+1 到 2N 號球，

經過無窮多輪，剩下無窮多顆無窮大編號的球，

把無窮多無窮大的自然數當作「不存在」，也可能是悖論根源之一。

標準分析中，為了避免經典悖論，排除無窮大(自然)數的概念，

補好西牆的代價或許是拆了東牆。


箱中球悖論的根源是定義不良？敘述不清？條件不足？直覺不對？或視而不見？

無窮大(自然)數的概念不存在嗎？還是標準公理體系不夠完整，

未能刻劃出更多的自然數性質？關於箱中球悖論，你有什麼看法？

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At the end, it never ends.

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.69.12.24 (臺灣)
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→ ginstein    : 感覺有點洗版，剛好接下來重點，會久點，一周吧。
推 arrenwu     : 定義不良跟敘述不清是同樣的問題。然後我覺得這個
→ arrenwu     : 就是定論了
→ ginstein    : 還是有點差別，名詞跟句子組織，雖然算同類啦。
→ cmrafsts    : 我越來越搞不懂你這系列想做什麼了。原本的問題是
→ cmrafsts    : 物理上不可能的。你提出的很多觀點在數學上都對應不
→ cmrafsts    : 同的操作與極限的選擇。會得到這麼多不同結果就是告
→ cmrafsts    : 訴我們處理極限、無窮等概念時，不能用原本處理有限
→ cmrafsts    : 的思維與直覺看待，甚至定義操作本身都需要額外的精
→ cmrafsts    : 力。儘管如此，你還是認為有一個適當的框架，可以與
→ cmrafsts    : 將此問題合理的解釋為唯一一種操作且與現行數學語言
→ cmrafsts    : 相容嗎？為什麼你不提出你要的結果並以此反推所需
→ cmrafsts    : 框架的性質來開始建立呢？
→ backpacker18: 這就是為什麼絕大部分的悖論都是ill-defined
→ backpacker18: 而且都跟無限有關lol
→ ginstein    : c大太多？了xd 至少物理也不存在所有自然數，康托
→ ginstein    : 爾說過，數學的本質在於它的自由。
→ ginstein    : b大如果拿這些問題來問ai，回答也蠻有趣的
推 backpacker18: 恩…還是要了解數學跟哲學關心的問題不一樣就是了
→ backpacker18: 很多沒受過這方面訓練的「數理愛好者」無法分辨兩者
→ backpacker18: 的差異
→ backpacker18: 這也是為什麼國外比較專業的數學論壇會對發文有規範
→ backpacker18:  (即使是問一個valid的問題)
→ backpacker18: 當然這裡我是覺得沒差