[其他] 無窮數列的盡頭是什麼？

[ginstein (邁向學術之路)]

「每個自然數都是有限大嗎？」一文中，

證明了 {n} >_a N^m = {1, 2, ..., m-1, m, m, ...}，

自然數數列終究大於所有的「有限」自然數生成數列。

文中追問「自然數數列 {1, 2, 3, ...} 的盡頭是什麼？

所有的有限自然數後是空了不存在嗎？還是存在無窮大自然數呢？」

本文進一步明確問題意涵。


首先區分三種無窮觀點，說明無窮概念的演進。

第一種且稱「潛無窮」，例如由自然數 1, 2, ..., n 構成的有限數列，

可用 {..., n} = {1, 2, ..., n} 強調末項，末項 n 無上界，

可無限增加但 n 有限。第二種且稱「實無窮」，

自然數數列 {n} = {1, 2, ..., n, ...} 包含了全部標準的、有限的自然數。

第三種暫稱「超無窮」，是標準數學外的概念，

為了對比標準數學，需要引入新的想法與符號比較異同。


因為 {n} >_a N^m，「假設」{n} = {..., n, ... |} 的盡頭，

可以延伸出、存在著暫稱為超自然數數列 {n^*} = {|..., n^*, ...}，

兩者之合暫稱為全自然數數列 {n || n^*} = {..., n,... || ..., n^*,...}。

符號 || (簡化時‘|’) 表示有限結界(有限屏障、有限壁壘，

barrier of finiteness)，略過科學哲學討論。

或可用非標準分析的超實數理解超自然數，

但本文無須依賴外部理論，可邏輯自洽，略過形式化處理。

由實數 x_1, x_2,..., x_n 構成的有限數列

{..., x_n} = {x_1, x_2, ..., x_n} 盡頭存在末項 x_n。

標準數學實無窮數列 {x_n} = {..., x_n, ... ||ψ}，ψ 代表空項，

數列盡頭「不存在」標準、有限分項外其它分項。

基於思維慣性，人們傾向賦予數列盡頭一個數字。

存在極限 x_∞ = lim x_n 時，可將數列完備為 {..., x_n, ... | x_∞ |ψ}，

結界內是標準分項 x_n，結界上是極限 x_∞。極限不存在時稱發散。


實無窮數列 {x_n} = {..., x_n, ... |} 的盡頭，

不管斂散與否，「假設」可以延伸出、存在著超無窮數列

{x_{n^*}} = {| ..., x_{n^*}, ...}，且稱結界外 x_{n^*} 為超(無窮)分項。

無窮數列的盡頭還是無窮數列，在結構上自我相似 (self-similarity)，

概念上閉環。稱 {x_{n^*}} = Lim{x_n} 為「極量」，

符號表明 {x_{n^*}} 由 {x_n} 延伸而來。

數列收斂時，結界外 Lim{x_n} 投影落在結界上 lim x_n。


數列可看成向量，其運算與關係透過對應項定義。

本文用 x R y 表示數列 x = {x_n} 和數列 y = {y_n} 恆有關係 R，

意即對標準自然數 n 恆有關係 x_n R y_n，例如 R 是 >，=，或 <。

用 x R_a y 表示數列 x 和數列 y 終究有比較關係 R，

意即存在標準自然數 N，當 n > N 時恆有 x_n R y_n。

實數 r = {r}，x R_a r 等價 {x_n} R_a {r}。

當 {x_n} R_a {y_n} 時有 Lim{x_n} R Lim{y_n}。

觀察例一到例三，對比直覺、極限與極量的觀點異同。

標準足標變數 n，超自然足標變數 n^*。

例一：{n} = {1, 2,..., n,...} >_a N^m = {1, 2,..., m-1, m, m,...}。

直覺：{1, 2,..., n,...} 的盡頭是無窮大自然數，大過全部有限自然數 m。

極限：lim n = ∞ 發散到無窮大，分項 n 的極限不存在。

極量：對全部標準(有限)自然數 m，Lim{n} = {n^*} > Lim{N^m} = m。


例二：∀ ε > 0，0 < {1/(2^n)}={1/2, 1/4, 1/8, ...} <_a ε。

直覺：{1/(2^n)} 的盡頭是正無窮小。一尺之棰，日取其半，萬世不竭。

極限：lim 1/(2^n) = 0，分項 1/(2^n) 的極限是 0，不存在無窮小。

極量：∀ ε > 0，0 < Lim{1/(2^n)} = {1/(2^{n^*})} < ε，

 可表示為 Lim{1/(2^n)}

例三：{1-0.1^n} = {0.9, 0.99, 0.999, ...} < {1} = 1。

直覺：{0.9, 0.99, 0.999, ...} 的盡頭無限靠近 1，但恆小於 1。

極限：lim (1-0.1^n) = 1，分項 1-0.1^n 的極限是 1。

極量：Lim{1-0.1^n} = {1-0.1^{n^*}} ~ 1^-，Lim{1-0.1^n} < 1，

 a ~ b 等價 a - b ~ 0。


無限符號 ∞ 曾被視為數字，可以在 \sum_{n=1}^∞ 和 \int_0^∞

等符號中發現歷史痕跡。標準數學中 ∞ 不是數字。

若 ∞ 是數字，例如令 S = 1 + 2 + 4 + ...，把左右式各減去 1，

S - 1 = 2 + 4 + 8 + ... = 2(1+2+4+...) = 2S，會導致 ∞ = -1 的悖論。

因為數字 ∞ 會導致矛盾，排除 ∞ 是數字，收斂必須是有限，禁止 x = ∞，

使用 x → 0 或 x → ∞ 的潛無窮觀點。

潛無窮無法完備極限，接受實無窮存在，才能完備實數。


無窮大(小)極量是數值意義的無窮大(小)，可以代數操作。

令 T = Lim{\sum_{k=0}^n 2^k} = Lim{1, 3, 7, 15, ...}，

T-1 = Lim{\sum_{k=0}^n 2^k-1} = Lim{0, 2, 6, 14,...}，

2T = Lim{\sum_{k=0}^n 2^{k+1}} = Lim{2, 6, 14, ...}。

把不同的無窮大極量 T-1 和 2T 視為相同，

前述悖論主因是違反同一律，而非數值無窮大(小)造成。


無窮大數列盡頭的想像之物 ∞，也曾用 1/∞ 表示無窮小，但會造成悖論，

無法是數字。符號 ∞ 是思維慣性的盲點，時代的知見障嗎？

用無窮數列去定義數值無窮，或許才合理。

附註：極量定義在實數數列上，極量列的極量本文不討論，

可使用合理限制下極量的極量概念，類似集合論合理限制集合的集合概念。


無窮數列的盡頭可以存在極量，存在標準數學外的無窮數列嗎？

是標準基礎內已經包含所有，標準外概念不存在(是空想嗎)？

還是如數學家戴德金所說──數字是人類心靈的自由創造(是發明嗎)？

或者是驀然回首，無窮卻在數列盡頭處(是發現嗎)？

對於無窮數列的盡頭，你有什麼看法？

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At the end, it never ends.

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.69.12.24 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1758441568.A.C7C.html
推 Vulpix      : 既然無窮，何來盡頭？
→ ginstein    : 我聽到了極量的迴響，這是來自無盡之盡的吶喊！
→ LPH66       : 你說「或可用非標準分析的超實數理解超自然數」
→ LPH66       : 但總覺得你只是用你的話把超實數重講了一次
→ LPH66       : 你能提出你的東西和超實數間的異同之處嗎?
→ ginstein    : L大問題日後可解，現在老了力不從心，不敢說多久PO
推 china2025   : 藍天
推 china2025   : 宇宙的外面也是藍天
→ ginstein    : 簡單回L大, 非標準超實數有三一律是有序靜態數字觀
→ ginstein    : ，極量超數列是偏序動態數字觀，這部分好了先發。
→ ginstein    : C大也聽到了無盡之盡外的吶喊嗎？是藍天，哈哈XD
→ recorriendo : 所謂"標準數學"裡本來就有limit ordinal的概念了
→ recorriendo : 甚至還有nonrecursive ordinal, nonpredicative o
→ recorriendo : rdinal等等  數學家對的討論早就不知道深到哪裡去
→ recorriendo : 了
→ recorriendo : 你整篇都是不嚴謹的論證 而就算嚴謹化了你說的 在
→ recorriendo : 數學上來說也都只是極度trivial的東西
→ recorriendo : "對此的討論"
→ ginstein    : r大，無窮小分析的直覺，標準分析的嚴謹，你如果是
→ ginstein    : 大人，不想兩個都要嗎？邏輯自洽皆是理論，以前沒
→ ginstein    : 得選，就像箱中球悖論，沒得選就罷了，如果有的選
→ arrenwu     : 我作為大人沒有覺得直覺和嚴謹有衝突啊
→ ginstein    : 哈，謝a大，先對r大不好意思，我們都是真理海邊撿
→ ginstein    : 貝殼的小孩。a大看過 歐拉從e的定義，二項式定理，
→ ginstein    : 無窮大後得到泰勒展開式的直覺式推論嗎？短短幾頁
→ ginstein    : 。那不嚴謹沒錯，直覺沒錯，標準分析也是正確邏輯
→ ginstein    : ，直覺和邏輯，不能同時成立嗎？只是解釋動機xd
推 china2025   : ================================================
→ china2025   : 想像一個數列
→ china2025   : 是自然數數列隨機重新排列
→ china2025   : 它的無窮項為pi
→ china2025   : ================================================
→ china2025   : 或者是e
→ ginstein    : c大, 自然延續公設. 實無窮數列0,超無窮數列1不行
→ ginstein    : 雖說科普文, 還是講究下文字.狀況不好就慢慢改
雖說科普文, (我)還是講究下文字.狀況不好慢慢改

這段因為"自然延續"公設名稱有感...

另外得改省字毛病，總想少寫幾個字湊成一行！
※ 編輯: ginstein (219.69.12.24 臺灣), 09/25/2025 10:15:39
推 orze04      : 穿山越嶺道的另一邊
→ recorriendo : 不是 你講的就是order type之類的東西 數學都處理好
→ recorriendo : 了 也不必引入非標準的概念 你想要討論的"直覺" 早
→ recorriendo : 就是有成熟的理論體系 所以 你寫再多也沒翻出既有數
→ recorriendo : 學的手掌心
→ recorriendo : https://en.wikipedia.org/wiki/Order_type 維基百
→ recorriendo : 科寫得有點簡略 但看那個示意圖就清楚了 你想要有en
→ recorriendo : dpoint的可數無窮序列 或是後面要在怎麼擴展 都能在
→ recorriendo : 順序理論裡討論 並和ordinal arithmetic對應
→ ginstein    : r大，假設不一樣，推文說不清，等兩篇文發後再討論