→ madokamagika: jacobian matrix? 09/27 21:32
雅可比矩陣指的是積分做變數變換之後產生的那個矩陣--或者該說方陣?
而且記得得取該方陣的行列式之絕對值--作為積分體積的縮放比?
※ 編輯: saltlake (114.36.207.142 臺灣), 09/27/2025 22:48:43
假如我們要計算一條線的質量，積分表達式如下:
M1 = Integral( rho(x), x = a to b)
意思是沿著 x = a 點到 b 點，累加微小元素的質量
rho(x)*dx, 即線密度乘上積分微小線段之長度。
下列變數變換應該不改變線段總質量。
y = x + c : 平移線段
y = a*x : 拉伸或壓縮線段；拉伸使線段伸長的同時也
等比例減少線密度而不改變質量。壓縮同理。
y = a*x + c : 平移與拉伸或壓縮線段，乃上面兩種變
化的疊加而都不改變質量。
這種概念可以擴展到更高維度，只要變數變換僅限於對各
維度的變數做平移與拉伸或壓縮。
上面是基於物理概念去理解積分的變數做變換之後，積分
值不變。數學上有相關的定理嗎? 名稱是啥? 變數變換除了
上面的簡單變換，可以擴增到怎樣的變換?
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