[其他] 如何看無窮，自然數列下，觀點有哪些？

[ginstein (邁向學術之路)]

[無窮數列的盡頭是什麼？]一文中，利用自然數數列 {1, 2, ..., n} 的增長過程，

區分潛無窮、實無窮、超無窮，說明無窮概念演進。

本文加入無(窮X)限序數觀點進行比較，其中有限結界（有限屏障、有限壁壘，

barrier of finiteness）的概念，符號 ||（簡化時 ‘|’），

有助形式化無窮觀點，區別異同之處。

本文只論自然數增長過程的數列，以下描述數列時，省去形容詞「自然數」。


潛無窮（有(窮X)限觀）：

有限數列 {1, 2, ..., n} 的項數 n 可無限增大（潛無窮），

但永遠有限（有(窮X)限觀）。

有(窮X)限觀者（有限主義者）只認可有限數列的存在。

永遠存在 n 之後的自然數 n+1，n+2，...。


實無窮（實(窮X)限觀）：

有限數列 {1, 2, ..., n} 的極限，是無窮數列 {n} = {1, 2, ..., n, ...}，

包含了全部標準的、有限大自然數，

起點為 m 的無窮數列 {m, m+1, ...} 極限為空數列。

也可表示為 {n} = {..., n, ... |} = {..., n, ... ||ψ}，ψ 代表空項。

標準數學採用實無窮觀點，是觸及有限結界的實(窮X)限觀。


無(窮X)限序數（序數觀）：

實無窮、有限結界後，可利用序數和有序數列等價性，

和後繼概念定義無窮序數。參考 [Ordinal number (wiki)]，本文改寫為

n ↔ {1, 2, ..., n}，w ↔ {..., n, ... |}，

w + 1 ↔ {..., n, ... || w + 1}，

w + 2 ↔ {..., n, ... || w + 1, w + 2}，

2 w ↔ {..., n, ... || w + 1, w + 2, ... |}，

依此類推，w^2 ↔

{..., n,... || (w + 1, ... |)，(2w + 1, ... |)，...，(n w +1，... |)，... |}，

更進一步能得到 w^3，w^n，w^w，w^w^w，w^w^w^...，

甚至產生更多新類型序數，包括不可數序數。

[布拉利-福爾蒂悖論]斷言「所有序數的集合」會導致矛盾。


超無窮（超(窮X)限觀）：

數列 {1, 2, ..., n} 趨向無窮時超越有限結界，

延伸出超無窮數列 {n^*} = {|...,  n^*, ...}，

全無窮數列為 {n || n^*} = {..., n, ... || ..., n^*, ...}，

其中足標 n 是有限自然數，稱足標 n^* 為超(窮X)限自然數。

超(窮X)限觀下，無窮數列的盡頭還是無窮數列，

在結構上自我相似，概念上閉環。


因結構自我相似，無窮數列的盡頭是無窮數列，

類似無(窮X)限序數觀點，全無窮數列可以進行如下拆解：

   {..., n, ... ||..., n^*, ...}

 = {..., n, ... || ..., n’, ... | ..., n^**, ...}

 = {..., n, ... || ..., n’, ... | ..., n’’, ... | ..., n^***, ...}

 = {..., n, ... || ..., n’, ... | ..., n’’, ... | ..., n’’’, ... | ...}

 ↔ {..., n, ... || w + 1, ... | 2w + 1, ... | 3 w +1，... | ... }。

對比布拉利-福爾蒂悖論，超無窮觀點概念上閉環，

難以簡明說清的層面上，似乎複現了潛無窮與實無窮的觀點差異。

兩種觀點有所類似但不等價，因非本文目標，異同程度暫不細究。


本文利用自然數數列 {1, 2, ..., n} 的增長過程，

區分潛無窮（有(窮X)限觀）、實無窮（實(窮X)限觀）、

無(窮X)限序數（序數觀）及超無窮（超(窮X)限觀）。

數學世界中的無窮有許多種，每個人都有自己認知的那一種。

對於如何看無窮，你有什麼看法？



無窮數列的盡頭是什麼:
https://dreamchen-2025-github-io.pages.dev/20250921/無窮數列的盡頭是什麼？

Ordinal Number: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number

布拉利-福爾蒂悖論: https://en.wikipedia.org/wiki/Burali-Forti_paradox

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At the end, it never ends.

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.69.12.24 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1759193600.A.A32.html
推 wrvuxci     : 你說的全無窮跟w^2有不同嗎
→ ginstein    : w大多遞迴幾次， w^ w 之上，甚至不可數也可以
推 wrvuxci     : 有點難評論，我是覺得這些直覺的概念跟嚴格化的數學
→ wrvuxci     : 比較的時候，其實你很難確定到底是不是在講同一個東
→ wrvuxci     : 西。如果嚴格化的理論那邊可以證出違背直覺的，那你
→ wrvuxci     : 可以確定說這兩個不一樣，但除此之外，其實很難說
→ wrvuxci     : 也許一切看起來很符合，但只是那個違反直覺的定理還
→ wrvuxci     : 沒證出來
謝 w 大反應，重看發現有些跳步，正文重新補上自相似展開過程，應該好懂些。

另外符號規則都沒規定說明下，會懷疑符號表示的意義和標準數學是否一致？正常反應。

不過如果沒規定沒說明都能看懂，這符號表達方式也達到預期目標，省下很多論述。

和嚴謹數學相同不相同？這疑問是否有解？或許可以等看看其他人反應。
※ 編輯: ginstein (219.69.12.24 臺灣), 09/30/2025 21:43:14
推 wrvuxci     : 目前來看是那個"…"是指什麼不是很明確
→ wrvuxci     : 全無窮那個地方。這樣問好了，你覺得這裡所提的這些
→ wrvuxci     : 不同的無窮觀，那些集合是well-ordered set嗎
→ wrvuxci     : 如果是的話那它是應該等價於某個ordinal number
→ wrvuxci     : 只是這個ordinal number有可能很大，它也許不可數也
→ wrvuxci     : 不一定能用ordinal arithmetic (w^2,w^w,...)表示
→ ginstein    : ... 的確有妙用，不過核心是，多個，可數個，甚至
→ ginstein    : 不可數個無窮數列接在一起，看成一個。一即全部。
→ ginstein    : 集合論先不說了，不是目前重點，數列才是重點。
推 wrvuxci     : 是可以，不過如果嚴格化就很容易進入原有的理論，數
→ wrvuxci     : 列的index本身就是集合
→ wrvuxci     : 傳統數列在集合論就是一個定義在自然數集上的函數
→ wrvuxci     : 那這些不同觀點的無窮數列很容易被聯想成定義在一個
→ wrvuxci     : 比自然數大的集合上的函數
→ wrvuxci     : 然後這個集合上好像有個自然的order(例如2w+1<3w+1)
→ wrvuxci     : 我不是要說它就是這樣，我也沒辦法說它是怎樣，因為
→ wrvuxci     : 目前沒有嚴格化，只是這是很自然的聯想
如果說，標準數理邏輯不夠用，需要更新公理體系，信嗎？
※ 編輯: ginstein (218.35.189.25 臺灣), 10/04/2025 19:59:58
→ ginstein    : 修正一下，標準ZFC公理系統不夠用。
推 wrvuxci     : 那是一種可能，在嚴格化前我沒有什麼相信或不相信
→ ginstein    : Nice! 拿出桌子，椅子，啤酒杯，準備開派對！
※ 編輯: ginstein (218.35.189.25 臺灣), 10/07/2025 09:51:01