推 pmove : 雖然最新的OpenAI還沒整合進ChatGPT,但目前的ChatGP 11/06 10:42
→ pmove : T, 有時像智障一樣，例如非經典糖果問題： 11/06 10:42
→ ginstein : 謝p大評論，AI 進步可能很快，拭目以待。 11/18 12:52
→ pmove : 是的AI進步的很快，ChatGPT已修正： 11/24 16:35
本文為前沿數學探索，是數普文非學術文、非公認理論，
盼能促進 AI 數學家早日到來。
[無窮數列的盡頭是什麼？]一文探索無窮數列的全部有限項外，
盡頭之處有無存在它物？若有為何？本文稱無窮數列盡頭之量為極量，
以無窮數列為基礎，動態數字為核心概念，
採用自然延續原理提出極量公設，建構極量數字系統。
類似計算機中整數與實數型別不同，0^0 = 1 而 0.^0. 是不定型的論點，
讓人反思數字概念，並藉此鋪陳探索發展 AI 數學家的可能性。
「無窮觀及動數觀」
[如何看無窮，自然數列下，觀點有哪些？]一文中利用自然數列的增長過程，
以及有限結界（符號 ||，簡化時 ‘|’）概念區分數列類型，
如 {1, 2, ..., n} 可以潛無窮增長的「有限數列」、
如 {n} = {..., n, ... |} 實無窮觀點的「無窮數列」、
如 {n^*} = {|..., n^*, ...} 「超無窮」觀點的「超限數列」。
超無窮觀下的超限數列 {x_n^*} = {|..., x_n^*, ...} 應尚無公認理論意涵，
雖本文未建立該理論，但未來可期。
[如何看數列，實數基礎下，觀點有哪些？]一文中
將數列 x = {x_t} 視為動態數字。設兩數量(數字或數列) x，y，
實數算子⊕和實數比較關係 R，表達式 x⊕y 和 x R y 良定義，
動態數字的運算關係規定，類似程式語言中的多載。
極量公設中用到「恆有關係」x R y、「恆無關係」x -R y、
「終究有關」x R_a y、「終究無關」x -R_a y及「恆為糾纏」x ~R_a y等關係。
動態數字概念可以更一般化，為避免技術細節，本文為數列概念。
為採取動數觀陳述極量公設，以下區分數列類型並系統化命名基本術語。
數列稱量，依項數可區分為單(項)量或孤(項)量、有限(項)量、
無窮(項)量、超限(項)量，不會誤解時省略(項)，如「無窮量」、「超限量」；
將量改為數列，就回到慣用語。bN為標準自然數系，bR 為標準實數系。
「自然延續原理和極量公設」
給一無窮量 x，「極量」x^* = Lim x 為公設中無定義名詞。
設兩無窮量 x = {x_n}，y = {y_n}，實數算子⊕推廣為無窮量算子⊕'=⊕，
實數比較關係 R 衍生無窮量關係 R’ 如終究有關 R_a，終究無關 -R_a，
和恆為糾纏 ~R_a。設想動態數字完整過程 (x || x^*) 或 {x || Lim x} 下，
極量的存在、運算及關係，從無窮量自然延續而來。
以下公設陳述省略 Lim 只用 * 形式。
「存在公設」：對每個無窮量 x，存在超限量 x^*，稱為 x 的極量。
「運算公設」：對任意兩無窮量 x，y，x^*⊕y^* = (x⊕y)^*。
「關係公設」：對任意兩無窮量 x，y，
x^* R^* y^* 當且僅當 x R'y，無窮量與極量的關係配對
(R'，R^*) 為 (R_a, R)，(-R_a, -R)，(~R_a, ~R_a) 三者之一。
極量 x^* = {x_n}^* 由無窮量 x = {x_n} 衍生，
不涉及超限數列 {x_{n^*}} 的建構與表達。暫時忽視細節差異，
除了上述極量存在公設，也可用單調數列存在極量公設，或極量關係公設
定義極量：x^* = y^* 當且僅當 x =_a y，終究相等 =_a 是等價關係，
本文極量看成實數值無窮量的終究相等之等價類時，
bR^bN / =_a，定義在標準數學之中，詮釋於標準數學以外。
極量算子來自無窮量算子，本文源自實數算子，可表示為⊕^*=⊕'=⊕。
極量運算公設 Lim x⊕Lim y = Lim(x⊕y)，反映無窮量先取極量後運算，
等於先運算無窮量後取極量。單元或有限多元算子可同理類推。
Lim 與 * 也可看成無窮量到超限量的轉移算子 (transfer operator)，
非標準分析早有類似概念。
極量關係公設說明了無窮量終究有關 R_a 延續為極量恆有關係 R，
無窮量終究無關 -R_a 延續為極量恆無關係 -R，
無窮量恆為糾纏 ~R_a 延續為極量恆為糾纏 ~R_a。
糾纏一詞外，可考慮震盪、搖擺、不定等詞。
單元謂詞可同理類推，有限多元謂詞暫不討論。
自然延續原理類似、源自萊布尼茲的連續性原理，
動態數字完整過程 (x || x^*)、{x || Lim x} 公設下合理存在。
本文 x^* = Lim x = Lim{x_n}，y^* = Lim y = Lim{y_n}。
絕對值 |·| 是實數算子，延續到極量的絕對量算子也稱量模。
量模 |x^*| 大於所有正實數時稱無窮大量，可表示為 x^* \approx ∞。
量模 |x^*| 小於所有正實數時稱無窮小量，可表示為 x^* \approx 0；
x^* \approx y^* 當且僅當 x^* - y^* \approx 0。
O^*(x) 表示 x = {x_n} 量值變化的終究程度，
o(x) 表示量值變化終究程度無窮小於 O^*(x)。
當 y^* / x^* = (y / x)^* \approx 1
用 y^* = O^*(x^*) 表示 y^* 的量值變化程度等價同階於 O^*(x^*)，
等同 lim y_n / x_n = 1 的漸進等價概念。
當 y^* / x^* = (y / x)^* \approx 0，
以 y^* = o(x^*) 表示 y^* 的量值變化程度無窮小於 O^*(x^*)，
等同 lim y_n / x_n = 0。
量階概念 O^*(·)、o(·) 是動態數字才有，靜態數字不具備的量值變化概念。
「極量數系？」
極量概念和原有數系概念有何異同？
和實數相同部分，極量可以加減乘除(除量 ≠ 0)，
具備恆有、恆無關係可以比較，x 可代入極量進行代數操作。
不同部分是動態數字概念，除了收斂極量，
包含無窮大量、無窮小量、震盪、發散等各種非收斂極量，
動態數字間可能有糾纏關係，
還有描述量值變化程度的量階概念 O^*(·)、o(·)，
是靜態數字所不具備的動態概念。
無窮大極量 Lim{n} 與無上界量 {n} = {1, 2, ..., n, ...}，兩者概念相關但不同。
標準數學中 {n} 終究大於任意自然數 m，每個分項的自然數都是有限大，
{n} 應稱無上界量；極量 Lim{n} 大過所有自然數 m，是正無窮大量。
略失精確但口語化來說，Lim{n} 是 O^*(n) 階無窮大量，簡稱自然無窮大，
Lim{ln n} 是對數無窮大，Lim{n^2} 是平方無窮大，
Lim{2^n} 是指數無窮大。
無窮小極量 Lim{1/n} 與無窮小數列 {1/n} 相關但不同。
無窮小數列 {1/n}，終究小於任意正實數，
雖然每個分項都是有限小，分項無窮趨近但大於0；
取極量後介於 0 和任意正實數之間，是正無窮小量。
令 x = {1/n}，y = {1/(n^2)}，口語化來說，
Lim x 是自然無窮小，Lim y 是平方無窮小，
Lim y 是 Lim x 的高階無窮小，
因為 1/(n^2) = o(1/n)，y = o(x) 延續到 Lim y = o(Lim x)。
對於[湯姆生的燈]悖論，震盪極量可以提供新的想法。
0 表示關燈狀態，1 表示開燈狀態，z = {0, 1, 0, 1, ...} 的最終狀態會是什麼？
有限思維慣性下，人們傾向賦予數列盡頭一個數字，
燈亮燈滅狀態被迫二選一，選哪一個都有問題；
震盪極量概念下，z^* 是持續不斷地燈亮燈滅，
有限結界內的震盪狀態 z，自然延續到有限結界外的震盪狀態 z^*，
而不是 0、1 狀態二選一。
極量數系概念可以有光明的前途，
如果無窮數列到極量概念，(x || x^*) 轉念間就能越過有限結界。
可是，整數 0 與實數 0. 概念真的相同嗎？
是否整數 0^0 = 1 而實數 0.^0. 是不定型？
參考視頻[所以，0的0次方到底是什麼？]。廣義實數中 1/∞ = 0，
而 0 < 1/Lim{n} = Lim{1/n} < 任意正實數，是非零正無窮小量。
在零與非零之間，無窮小若隱若現，實數扎實如昔嗎？完備性何去何從？
現實不會是一馬平川，道路總是曲折的。
如果你是 AI 數學家，動態數字概念是數字嗎？
採用自然延續原理的極量公設系統，是否邏輯自洽，無須依賴非標準分析理論？
極量可以是數系嗎？是的話，整數 0^0 = 1 而實數 0.^0. 是不定型嗎？
標準數系和極量數系的核心概念差異在哪？
以上問題 AI 數學家會如何分析？問題以外 AI 數學家會如何探索？
[無窮數列的盡頭是什麼]:
https://dreamchen-2025-github-io.pages.dev/20250921/無窮數列的盡頭是什麼？
[如何看無窮，自然數列下，觀點有哪些？]:
https://dreamchen-2025-github-io.pages.dev/20250930/如何看無窮，自然數列下，觀
點有哪些？
[如何看數列，實數基礎下，觀點有哪些？]:
https://dreamchen-2025-github-io.pages.dev/20251003/如何看數列，實數基礎下，觀
點有哪些？
[湯姆生的燈]: https://zh.wikipedia.org/wiki/湯姆生的燈悖論
[0的0次方到底是什麼？]: https://b23.tv/ebHXdYE
作者: ginstein (邁向學術之路) 看板: Math
標題: [其他] 存在或不存在，認知邊界所在！(AI協作修改版)
時間: Mon Nov 5 00:01:23 2025
幾則故事。其一，傳說希帕索斯被畢氏學派拋入大海，
因為他發現√2無法用自然數之比表示，動搖萬物皆數的學派教條。
其二，拉普拉斯匆忙返家急於檢驗《天體力學》中的無窮級數，
因為柯西剛提出極限與收斂的概念，正要開啟微積分嚴格化時代。
其三，康托爾於精神病院辭世，雖然建立了實無窮集合的樂園，
但挑戰了當時的潛無窮主流觀點，被認為離經叛道，最終抑鬱而終。
故事映照出人性的矛盾，既渴望理論創新，深化推廣所知，
又恐懼過於顛覆，動搖基礎認知。
要知道偉大如高斯，早已深刻理解非歐幾何，
卻因為顧慮質疑主流觀點會引發爭議，而選擇沉默。
相較之下，同時代的其他非歐幾何創始者，
羅巴切夫斯基與小鮑耶（高斯摯友之子）的成果不被世人理解，
創新發現淪為異端邪說，發現者成了孤勇者，他們的人生顛簸坎坷。
故事是過去的人生，現實是未來的故事。
標準數學基礎框架中，若發現實無窮外竟「存在」超無窮，
靜態有限數系外「存在」動態無窮數系，實數點「存在」內部結構─
當基礎框架外的「存在」，動搖了標準的無窮觀、數字觀、幾何觀，
揭示了標準觀的侷限；當主流框架受到挑戰，而新典範尚未確立，
對錯難辨之際，厭惡數學者或喜聞樂見，熱愛數學者卻難免徬徨！
不知所措時，歷史能給予我們什麼啟示？
存在或不存在，認知邊界所在！
拒絕無理數，否認非歐幾何，排斥實無窮，
反映了時代的認知侷限，而非無知偏見。
無理數、負數、虛數等概念，也曾被斥荒謬，如今卻習以為常。
在主流基礎之外，早有多種推廣，如非標準分析等。
主流外的「存在」，論點其實不新，只是相對邊緣。
數學史啟示我們，以開放心態接納直覺，以嚴謹邏輯批判檢驗，
當新概念通過考驗，從不存在躍升為存在，新概念的曙光將驅散遮掩迷霧、
照亮全新疆界、揭示深層結構、拓展認知邊界。
歷史啟示之外，未來 AI 可期。當下 2025 年末，
AI 已在國際數學奧林匹亞 (IMO) 的競賽中，展現金牌級解題能力。
DeepScientist 與 AI Mathematician 等前沿研究，
預示能演繹理論的 AI 數學家即將誕生。
突破認知限制，超越常規思維，
不僅能推動數學進展，也可能啟發科技突破。
期待未來的 AI 數學家，以其獨特的認知範式、計算視角，
與人類共啟探索未知的新紀元！
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At the end, it never ends.
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 218.35.189.25 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1762169811.A.2F8.html
※ 編輯: ginstein (218.35.189.25 臺灣), 11/03/2025 19:52:24
※ 編輯: ginstein (218.35.189.25 臺灣), 11/05/2025 00:01:19