推 china2025 : 推 11/12 18:25
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※ 編輯: Vulpix (1.160.33.80 臺灣), 11/26/2025 18:17:30
※ 引述《will2004 (夏天的風)》之銘言：
: 請問各位高手
: 幫幫忙一題遞迴題目
: 是否推導出一般式
: 或不漂亮的closed form 也可以
: https://lurl.cc/bB6t9
: 謝謝~
先用 a_n = d_n/(3n+2)! 改寫遞迴式：(3n+2)*a_n = Σ_{k=0}^{n-1} a_k*a_{n-k-1}
乘以 x^n 後從 1 開始累加。
這邊定義一個 f(x) = Σ_{n=0}^{∞} a_n*x^n
如此，遞迴式就轉變成 3xf'(x)+2f(x)-1 = xf(x)^2, f(0)=1/2。
令 f(x) = -3u'(x)/u(x)，方程式可以變成 9xu"(x) + 6u'(x) + u(x) = 0。
這是 Bessel equation 的一種變形，
解是 u(x) = x^{1/6}*( A*J_{1/3}(2√x/3) + B*Y_{1/3}(2√x/3) )
代入初始條件可以得到 u(x) = C*x^{1/6}*J_{-1/3}(2√x/3)
然後丟回 -3u'(x)/u(x) 就可以得到 f(x)。
f(x) 的 n 次項係數再乘以 (3n+2)! 就是 d_n 了。
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