[其他] 確定性的失落？創造性的無限？(中)

[ginstein (邁向學術之路)]

本文為前沿數學探索，是數普文非學術文、非公認理論，

目標提供 AI 數學家新分析基礎洞見，促使 AI 數學家早日到來。

既為前沿數學探索，與標準數學內容論點或有差異，

本系列文力圖提供整體相容框架，讓讀者對主題來龍去脈有重點理解，

能立足前人成果自然延續推廣，著重論點承前啟後而非標新立異，

聚焦觀點與時俱進而非新舊對錯。


[確定性的失落？創造性的無限？(上)]一文中

採用自然延續原理提出極量公設，建構極量數字系統。

本文進一步具體檢視自然數 bN、整數 bZ、有理數 bQ，建構實數 bR、

有理量 bS、有理極量 bT 等數系，引入極數、量集、無窮小結界等概念，

將實分析基礎的廣義實數系 \bar{bR}，推廣為廣義實量族 \bar{bR}^~。

上述數系的推廣過程，顯示了極量概念在數學發展史的里程碑意義。


##神造自然數，其餘皆人造

符號多載約定：數字集合稱數集，數列集合稱量集。

給數量集合 A, B，元素關係 R，元素算子⊕，

原則上 A R B 當且僅當 ∀a \in A, ∀b \in B 恆有關係 a R b，

A⊕B ≡ {a⊕b | a \in A, b \in B}。單一數量視為單點集合 x ≡ {x}。

表達式有疑義衝突時，以集合符號或固有慣例為優先解釋，

例如 A = B「並非」∀a \in A, ∀b \in B, a = b 的無趣解釋。

數量集合、動態數字的關係運算規定，

類似程式語言(編程語言)中的多載功能。

為方便識別，運算元前或加稱類型，數字稱數，數列稱量，集合稱集。


本文自然數集 bN ≡ {1, 2, ..., n, ...} 起點從1開始。令 m, n \in bN，

次序關係 R_bN ≡ R 具備三一律：m > n, m = n, m < n 三者之一成立；

算子⊕_bN ≡⊕為加減乘除基本運算。整數集

bZ ≡ {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} = bN - bN，R 與⊕推廣到 R_bZ 與⊕_bZ。

有理數集 bQ ≡ {z / n | z \in bZ, n \in bN} = bZ / bN，

R_bZ 與⊕_bZ 推廣到 R_bQ 與⊕_bQ。

限制下 R_bQ |_bN = R、⊕_bQ |_bN =⊕，故符號沿用 R 與⊕。

為簡潔方便或用集合代表數系，如集 bQ 可代表數系 (bQ, R,⊕)。


標準數學下，自然數無窮數列 {1, 2, ..., n, ...} 的每個分項 n 都是有限大，

自然數集 bN 無上界，但沒有無窮大項；

自然數倒數無窮數列 {1, 1/2, ..., 1/n, ...} 的每個分項 1/n 都是有限小，

自然數倒數任意小，但沒有無窮小項。

每個整數都有界，但整數集 bZ 無上界也無下界。

有理數集 bQ 滿足阿基米德性質：∀ p \in bQ^+, ∃ N \in bN, N * p > 1；

也等價 ∀ p, q \in bQ, p ≠ q, ∃ N \in bN, N * |p-q| > 1。

阿基米德性質可推論非零有理數都是有限大小，非零實數同樣成立。


數量集合的關係、運算可應用在區間上。

令區間 I ≡ [a, b], a <= b, J ≡ [c, d], c <= d；p < I 等價 p < a，

同理 I < p 等價 b < p，I < J 等價 b < c，I > J 等價 d < a。

I + J = [a + c, b + d], -J = [-d, -c], I - J = [a - d, b - c]。

乘法：當 J >= 0，I 或為 I <= 0, I J = I * J = [a d, b c]；

或為 0 \in I°= (a, b), I J = I * J = [a d, b d]；

或為 0 <= I, I J = I * J= [a c, b d]。

當 J <= 0, -J >= 0, I J = I * J = (-I) (-J)。

除法：當 J > 0, J^{-1} = [d^{-1}, c^{-1}] > 0, I / J = I * J^{-1}。

當 J < 0, -J > 0, I / J = (-I) * (-J^{-1})。


##實數的建構與完備

從自然數推廣到有理數，拓展了數字概念，

但數線上點集 L 存在無理數如√2 \in L,√2 \not\in bQ，

顯示有理數集 bQ 不足以填滿、解釋數線點集 L。

從有理數集 bQ 建構實數集 bR，

標準數學中數線上點集 L 和實數集 bR 一一對應， L ↔ bR，

數線上一點 r \in L 可看成實數 r \in bR。


預備知識：默認 n, N \in bN, ε, q_n \in bQ, r, m, M \in bR, 或 r \in L。

以 qlim q_n = r 表示 r 為數列 q = {q_n} 的有理極限，

若 ∀ ε > 0, ∃ N 當 n > N 有 | q_n - r | < ε。

qlim 雷同 lim 的 ε-N 定義，但限制 ε \in bQ。

令 q = {q_n}，若 ∀n, q_n <= q_{n+1}，以 q↗ 表示數列 q 遞增；

若 ∀n, q_n >= q_{n+1}，以 q↘ 表示數列 q 遞減；遞增或遞減也統稱單調。

若 q <= M 稱 M 為 q 上界；若 m <= q 稱 m 為 q 下界；

有上界且有下界也稱為有界。符號 ‘||’ 簡化時 ‘|’ 表示有限結界。


有理數區間套：默認 n, N \in bN, a_n, b_n, c_n, d_n \in bQ, r \in L。

稱 I = {I_n}, I_n = [a_n, b_n] 為有理數區間套，簡稱區間套，

若 ∀n, [a_n, b_n] \supset [a_{n+1}, b_{n+1}], qlim b_n - a_n = 0。

因區間 I_n 長度趨 0，區間套 I 最多包含一點 r，區間套端點數列

a = {a_n}, a↗, b = {b_n}, b↘, qlim a = qlim a_n = qlim b_n = qlim b = r。

當區間套 I, I’ 包含同一點 r，以 I ~ I’ 表示區間套等價，

I !~ J 表示區間套不等價。

康托爾用有理數區間套等價類 [I] = {I’ | I’ ~ I, r \in I} 操作 r ≡ [I]。


多載規定：為簡化區間套相關術語，令 r \in I 表示區間套 I 包含點 r，

定義為 ∀n, r \in I_n，等價  ∀n, a_n <= r <= b_n；

而 r \in_a I 表示區間套 I 終究包含 r，

定義為 ∃ n, ∀ n > N, r \in I_n，等價 ∃ N, ∀ n > N, a_n <= r <= b_n。

令 p < I 表示 p 小於區間套 I，定義為 ∀n, p < I_n，等價 ∀n, p < a_n；

而 p <_a I 表示 p 終究小於區間套 I，

定義為 ∃ N, ∀ n > N, p < I_n，等價 ∃ N, ∀ n > N, p < a_n。

其它 p R I、p R_a I 同理。


實數次序關係：默認 p \in bQ, r, s \in L, r ≡ [I], s ≡ [J], r R s ≡ [I] R
[J]。

先比較有理數，暫令 r \in bQ，定義 p < r 若 p <_a I、

p = r 若 p \in_a I 由定義化簡得 p \in I、p > r 若 p >_a I。

當 p \not\in I 時，或者 p <_a I 或者 p >_a I，

關係 p < r、p = r、p > r 三一律成立。

再比較實數，定義 r < s 若 I <_a J、r = s 若 I ~ J，r > s 若 J <_a I。

當 r ≠ s，I !~ J，∃ p \in bQ，或者 r < p < s 等價 I <_a p <_a J，

或者 s < p < r 等價 J <_a p <_a I。因此 r < s、r = s 或 r > s 三一律成立。

[I] R [J] 可證良定義。


實數運算：默認 r, s \in L, r ≡ [I], s ≡ [J], r⊕s ≡ [I]⊕[J]。

加減：I + J = {[a_n + c_n, b_n + d_n]}, -J = {[-d_n, -c_n]},

I - J = {[a_n - d_n, b_n - c_n]}。

乘法：當 s >= 0, J >=_a 0，I 或為 I <=_a 0，I J =_a {[a_n d_n, b_n c_n]}；

或為 0 \in_a I°= {(a_n, b_n)}，I J =_a {[a_n d_n, b_n d_n]}；

或為 0 <=_a I，I J =_a { [a_n c_n, b_n d_n]}。

當 s <= 0, J <=_a 0, -J >=_a 0, I J =_a (-I) (-J)。

除法：當 s > 0, J >_a 0, J^{-1} =_a {[d_n^{-1}, c_n^{-1}]} >_a 0,

I / J =_a I J^{-1}。

當 s < 0, J <_a 0, I / J =_a (-I) (-J^{-1})。[I]⊕[J] 可證良定義。


阿基米德性質：區間套等價類實數系 (bR, R,⊕), bR = {[I] | r \in I}，

點 r ↔ [I]，數線上點集和實數集一一對應，L ↔ bR。

實數滿足阿基米德性質：∀ r \in bR^+, ∃ N \in bN, N * r > 1；

也等價 ∀ r, s \in bR, r ≠ s, ∃ N \in bN, N * |r-s| > 1。

由阿基米德性質可以推得非零實數都是有限大小，

非零實數不存在無窮大或無窮小。


實數系 (bR, R,⊕) 是建構、推廣數系的里程碑。

默認建構數列、數集為有理值，除了區間套外，還可用單調有界數列、

戴德金分割、柯西數列、有界數列存在收歛子列、有界點集存在聚點、

有界數列或有界點集存在確界、有界閉集存在有限開覆蓋

等許多等價方式建構實數集，可參考數學分析教材。

以實數列、實數集為基礎，上述等價方式重建數集後仍為實數集，

稱為實數完備性。公理化方式建構實數集時，

有理數系公理添增實數完備性公理，即得到實數系公理。


##極量數系與廣義實量族

以下從有理數集 bQ 推廣到有理量集 bS、有理極量集 bT，引入

極數、極量集、無窮小結界等概念，以此建構廣義實量族 \bar{bR}^~。

超無窮觀點下，極量是動態極數，極數是靜態極量。

量集主要指稱極量集合，例如無窮小量集、無窮大量集；

較少表示無窮量集合，例如有理量集。

極量概念可以推廣實分析的底層數系──廣義實數系 \bar{bR}，

並展現更為基礎深入的數字概念。

顯示以極量理論為基礎，改寫、整合更多分析領域為具體可行目標。


有理量：數列改稱量。默認 n \in bN, p_n, q_n \in bQ，

R= R_bQ 為有理數次序關係，⊕=⊕_bQ為有理數算子。

令 bS ≡{q | q = {q_n}} 為有理值無窮量的集合，簡稱有理量集。

默認 p, q \in bS, R’= R_bS 為有理量比較關係，⊕’=⊕_bS 為有理量算子。

有理量關係 p R’ q 中 p R_a q, p ~R_a q, p -R_a q 具備終究關係三一律。

沿用算子符號⊕表示有理量運算，p⊕q = p⊕’ q ≡ {p_n⊕q_n}。


有理極量：默認有理量 p, q \in bS，有理量比較關係 R’= R_bS，

有理量算子⊕’=⊕_bS。令有理量 q 完整數字過程為 (q || q^*)，

自然延續下，極量公設保證極量 q^* 的存在、運算及關係。

令 bT ≡{q^* | q \in bS} 為有理極量集。

默認 p^*, q^* \in bT, R^* = R_bT,⊕^* =⊕_bT。

極量關係：p R’ q 自然延伸到 p^* R^* q^*，

關係配對 (R’，R^*) 有極量關係三一律，

(R_a, R), (~R_a, ~R_a), (-R_a, -R) 三者之一成立。極量運算：

p^*⊕q^* = p^*⊕^* q^* ≡ (p⊕’ q)^* = Lim{p_n⊕q_n}，沿用運算符號⊕。


極數：令 s = {s_n}, c 常數，當無窮數列 s = {s_n} =_a c 為終究常數數列，

稱極量 s^* = c 為極數。bN^* ≡ {s^* | s =_a n, n \in bN} 為自然極數集，

同理有整極數集 bZ^*，有理極數集 bQ^* 和略過細節的實極數集 bR^*。

極數集和原數集等勢，可一一對應：bN^* ↔ bN, bZ^* ↔ bZ, bQ^* ↔ bQ，

bR^* ↔ bR。有理極數和實極數，同樣滿足阿基米德性質。


實量集：令實極數 r^* \in bR^*，有理極量 q^* \in bT，

實量集 r^~ ≡ {q^* | |q^* - r^*| < bQ^+}、

微正(略大)實量集 r^+ ≡ {q^* > r^* | |q^* - r^*| < bQ^+}、

微負(略小)實量集 r^- ≡ {q^* < r^* | |q^* - r^*| < bQ^+}、

去心實量集 r^≠ ≡ {q^* ≠ r^* | |q^* - r^*| < bQ^+}，符號 r°較 r^≠ 正式，

本文 I°已用。實量族 bR^~ ≡ {r^~ | r^* \in bR^*}。

實數完備性公設成為定理，單調有界數列存在收斂極量，

可拆解為實極數加上無窮小量，

類似非標準分析將超實數拆解為標準實數和無窮小超實數。


無窮小量集：實量集中心 r^* = 0 的特例。令有理極量 q^* \in bT，

無窮小量集 0^~ ≡ {q^* | |q^*| < bQ^+}、

正無窮小量集 0^+ ≡ {q^* > 0 | |q^*| < bQ^+}、

負無窮小量集 0^- ≡ {q^* < 0 | |q^*| < bQ^+}、

非零無窮小量集 0^≠ ≡ {q^* ≠ 0 | |q^*| < bQ^+}，

符號 0°較 0^≠ 正式，但 I°已用。

無窮小量的運算角色近似 0 的運算角色，

且阿基米德性質失效，∀N \in bN, ∀ z ~ 0, N z ~ 0。0^~ 也稱零量集。


無窮大量集：令有理極量 q^* \in bT，

無窮大量集 ∞^~ ≡ {q^* | |q^*| > bQ^+}、

正無窮大量集 +∞^~ ≡ {q^* > 0 | |q^*| > bQ^+}、

負無窮大量集 -∞^~ ≡ {q^* < 0 | |q^*| > bQ^+}。量集 ∞^~ 的運算，

例如 ∞^~ + 1 = {q^*+1 | |q^*| > bQ^+} = ∞^~, r ± (+∞^~) = ±(∞^~),

(+∞^~) + (+∞^~) = (+∞^~) * (+∞^~) = (-∞^~) * (-∞^~) = +∞^~，

1/(∞^~) = 0^{≠}, 1/(+∞^~) = 0^+, 1/(-∞^~) = 0^- 等運算定理可證。

相較廣義實數規定 1/∞ = 0，顯示實數概念的侷限及實量集概念的推廣。


廣義實量族：量集概念將廣義實數系 \bar{bR} = {-∞} \un bR \un {+∞} =

{-∞|| bR || +∞} 推廣為廣義實量族 \bar{bR}^~ = {-∞^~ || bR^~ ||+∞^~}，

廣義實數 r \in \bar{bR} 推廣為廣義實量集 r^~ \in \bar{bR}^~。

可用 x^* ~ r 表示 x^* \in r^~。當 x = {x_n} \in bS，

略過細節可推廣到有理量外，lim x_n = r \in \bar{bR}

等價 Lim x ~ r 等價 Lim x \in r^~，顯示極量、廣義實量族概念

為極限、廣義實數系概念的合理推廣，理論正確性一致。


符號 ~ 示例：當 x = {x_n}，lim x = lim x_n = r \in \bar{bR}

等價 Lim x ~ r 等價 Lim x \in r^~。

例如 lim sin n / n = 0 等價 Lim{sin n / n} ~ 0 等價 Lim{sin n / n} \in 0^~。

r^+, r^-, r^≠ 顯示更多資訊，

例如 lim 1-0.1^n = 1 推得 Lim{1-0.1^n} ~ 1^- 等價 Lim{1-0.1^n} \in 1^-，

略小實量集 1^- 顯示數列 {1-0.1^n} 額外的過程資訊。

lim n = +∞, Lim{n} ~ +∞, Lim{n} \in +∞^~ 等價。


不定型：令 a = Lim{1/n} ~ 0^+, b = Lim{1/n^n} ~ 0^+,

a^a, b^a \in (0^~)^(0^~)，但 a^a ~ 1 而 b^a ~ 0，(0^~)^(0^~) 為不定型。

其它不定型有 (∞^~)/(∞^~), (∞^~) \pm (∞^~), (∞^~)^(0^~),

(0^~)^(∞^~), (0^~) * (∞^~), (0^~) / (0^~), (1^~)^(∞^~) 等。

相較於數字觀點的運算精確性，不定型顯示量集觀點的合理性。


無窮小結界：阿基米德性質對無窮小極量失效，

∀N \in bN, ∀ z ~ 0, N z ~ 0；∀N \in bN, ∀ z ~ w，N (z-w) ~ 0；

∀N \in bN, N 0^~ = 0^~, N 0^+ = 0^+, N 0^- = 0^-, N 0^≠ = 0^≠。

當 x ~ 0^≠, log |x| ~ -∞, log |0^≠| = -∞^~，非零無窮小量集的量度為 -∞^~。

實量集 r^~ 看成以實極數 r^* 為中心，

具有無窮小結界、無窮小鄰域的極量集合。


有界與有限：令量 q 為無窮量 q \in bS 或極量 q \in bT，其值 q 稱量值；

量模 q 為絕對量 |q|；量度 q 為 log |q|, q ≠ 0，是量模的對數尺度。

若 ∃ M \in bN, |q| <= M，量模有界稱 q 有界；

若 ∃ M \in bN, | log |q| | <= M，量度有界稱 q 有限。

有界與有限術語，多用來形容量值。

有限量或有歧義，主要指稱有限值無窮量或有限值極量，

少表示有限項量。對任意有限量 q, ∃ N \in bN, N |q| > 1。

有限(值)量滿足阿基米德性質。


##幾何觀、數字觀、無窮觀的比較

幾何觀：標準數學中數線 L 和實數集 bR 一一對應，

L ↔ bR，\pm ∞ 非數字概念。

篇幅所限，本文未討論的一般極量理論中，

一般實集量 r^~ 對應標準數學中的廣義實數 r，

是實極數 r^* 為中心的近似鄰域。

標準數學中不可數個實數構成數線，

但極量理論中，若不包括無窮小鄰域，

即使不可數個實極數也無法填滿數線。

類似不同幾何基礎下，三角形內角和論點可互斥，卻都是正確論述。

更深入的連續統議題，值得深思但本文不予討論。


數字觀：標準數學中 1/2 = 0.5，極量觀點下 1/2 ~ 0.5。

極限下 lim 1-0.1^n = 1，極量下 Lim{1-0.1^n} ~ 1^, Lim{1-0.1^n} < 1。

0.\bar{9} = lim 1-0.1^n 或 0.\bar{9} = Lim{1-0.1^n}

反應不同的數字觀，不同基礎下，可各自成立。

思維慣性下，精確數字概念預期有精確運算結果；

量集是近似概念，不定型顯示量集觀點的合理性。

廣義實數的 \pm∞ 是符號，運算規則需規定；

量集 \pm∞^~ 是數量集合概念，可以證明運算規則定理。


無窮觀：自然數 1, 2, 3, ..., 不斷數下去會如何？

潛無窮觀點認為，每個自然數都是有限大，

永遠可生成新的後繼自然數，不存在所有自然數。

實無窮觀點認為，每個自然數都是有限大，

皮亞諾公理刻劃了自然數集合的特性，存在所有自然數的集合。

超無窮觀點認為，不斷增加的自然數，終究會超越有限結界，

有限過程的狀態，可以自然延續到結界之外。

目前標準數學的基礎，採用實無窮觀點。

讀者謹記極量概念採用超無窮觀點，非學術公認觀點，論述需仔細檢視。


本文目標提供 AI 數學家新分析基礎洞見，促使 AI 數學家早日到來。

既為前沿數學探索，與標準數學的差異處，

或揭露尚需明示的隱藏假設，或明確思維觀點的邊界。

本文檢視自然數 bN、整數 bZ、有理數 bQ，

建構實數 bR、有理量 bS、有理極量 bT 等數系，

引入極數、量集、無窮小結界等概念，

將實分析基礎廣義實數系 \bar{bR} 推廣為廣義實量族 \bar{bR}^~。

數量集合概念的元素可以比較、運算，代入符號 x 進行代數操作。


如果你是 AI 萊布尼茲，你能進一步嚴謹化極量數字系統嗎？

若存在嚴謹極量數系，你能比照標準數學，嚴謹地重建微積分嗎？

用極量改寫的新分析學，能復興無窮小分析的直覺，

繼承標準分析的嚴謹，整合數值分析的應用嗎？


如果你是學數人，數學愛好者，∞ 是悖論的根源嗎？

1/∞ 是消逝量的幽靈嗎？無窮直覺的棲息地，超無窮概念存在嗎？

若存在超無窮，直覺是天馬行空地歪打正著嗎？

邏輯是信心滿滿地犯錯藝術嗎？

若變動了標準數學的認知基礎，是確定性的失落嗎？

以上這些問題，你有什麼看法？


--
At the end, it never ends.

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 218.35.189.25 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1763428216.A.804.html
→ R2003       : ??? Archimedean property 那邊推論就有問題了啊
→ R2003       : AP跟你講的是集合無上界，誰跟你說這等價於有限?
→ R2003       :             ^
→ R2003       :           實數
→ R2003       : 如果real is finite，那real set就可以bounded啦
→ ginstein    : https://myppt.cc/004S7 是自然語言的問題
→ ginstein    : 每個自然數都是有限大，不代表自然數集合有限大
→ ginstein    : 非零有理數和非零實數絕對值有限，雖然可以任意小
→ ginstein    : 每個正有理數和正實數都是有限大小，雖可以任意小
→ R2003       : 嗯? 這不是自然語言的問題
→ R2003       : AP處理的是結構性質，然後從這性質可以推出其中的
→ R2003       : 元素不具有最大值maximum，但沒跟說這是有限finite
→ R2003       : 沒有maximum是內部任取兩元素的(函數)關係
→ R2003       : finite是這集合元素跟自然數集合中元素間的函數關係
→ R2003       : 兩個不一樣
→ R2003       : 邏輯上前者是推不出後者的
→ ginstein    : 抽象代數裡R大是對的，但本文從自然數開始，有關
→ R2003       : 沒空再回你了...就算是自然數，也是order field
→ R2003       : 也因此內部元素必然要符合AP，所以你推論才有問題
→ R2003       : AP就是沒辦法來講元素本身的有限
→ R2003       : 甚至我很淺薄的認識數學到現在，除了extended real
→ R2003       : infinite是可被視為一個元素外，其他都沒這回事
→ R2003       : 所以我完全不懂你討論無窮後面的目的是甚麼?
→ ginstein    : https://myppt.cc/004S7 Courant 書現在不流行了嗎
→ ginstein    : 有限定義不包括實數長度嗎？非得對應自然數個數？
→ arrenwu     : 妳寫這文章真的是挺難懂的
→ arrenwu     : 沒辦法寫成幾個接近一般數學形式的命題嗎？
→ arrenwu     : 給幾個 [定義][定理][證明]  大家才有得討論啊
→ ginstein    : A大不好意思, 或許當下主要是系列文AI能看懂接受
→ ginstein    : 以後有機會的話，你指教的地方，我會記得改進的
→ ginstein    : 謝謝，看到了，有機會發論文時，再請批評指教
→ arrenwu     : LLM根本沒有所謂的 看懂 或 接受 的問題不是嗎？
→ arrenwu     : 你這篇打進去 一定會有回應啊？
→ ginstein    : https://dreamchen-2025-github-io.pages.dev/2025
→ ginstein    : 0921/無窮數列的盡頭是什麼？
→ ginstein    : 或許可以看網頁版，比較好讀
→ ginstein    : A大一篇文不夠，還會被罵不清楚，系列文AI能看懂
推 wrvuxci     : Courant的那句In essence算是概括描述啦，給個直觀
→ wrvuxci     : 而已
→ cmrafsts    : 你既然會用AI協作，為什麼不要它幫你用更加通順合適
→ cmrafsts    : 的詞句改寫呢？
→ wrvuxci     : 有限除了cardinality好像沒什麼定義，要不然就是在
→ wrvuxci     : extended real number system裡，除了正負無限都叫
→ wrvuxci     : 有限，但這樣就等於直接定義所有實數都是有限，那也
→ wrvuxci     : 沒什麼要推論的，長度面積(廣義來說measure)也是一
→ wrvuxci     : 個extended real number 而已，如果不要這些基本設
→ wrvuxci     : 定，那到底哪些可以接受哪些不行可能要界定一下，不
→ wrvuxci     : 然有點難討論
→ ginstein    : W大，所有非零實數都有限沒錯。只是大多標準教材不
→ ginstein    : 言而喻，因為從極限開始就排除了無限大數字概念。
→ ginstein    : C大建議以後是必然的，不過人機協作非當下主要目標
→ R2003       : 你搞錯因果關係了...並非因為所有real都有限而用極
→ R2003       : 限排除掉infinite。
→ R2003       : 極限的整個概念，並不是整體數學非常底層的基礎
→ R2003       : 是因為從最底層的axiom往上蓋，除了 上面w大提到
→ R2003       : cardinality時候，有在集合論的地方去處理一些有限
→ R2003       : 和無窮的問題外，其他時候infinite本身並不能被給出
→ R2003       : 直接的定義(因為非order)，所以後來才有ε-δ去給
→ R2003       : 被稱作infinite的情況，但這並沒有說元素本身跟有限
→ R2003       : 或無窮的關係
→ R2003       : 簡言之，極限定義無窮的條件不等於說明元素本身的有
→ R2003       : 限與否。
→ R2003       : 邏輯上嚴謹是這樣的關係，也因此，collection以外的
→ R2003       : 集合，不會去裡面的元素有甚麼性質
→ R2003       :           ^
→ R2003       :        討論
→ R2003       : 而是去討論這些元素形成的集合有何性質
→ R2003       : **collection就是指Set of set
→ R2003       : ***上面沒寫完...: 因為給定infinite的情況，所以才
→ R2003       : 不會看到"infinite"作為元素的出現
→ R2003       : (在R空間的時候)
推 wrvuxci     : 其實在嚴謹數學裡，沒有多少定義是不言而喻的，比較
→ wrvuxci     : 基本的，幾乎只有「集合」是無定義名詞，可能還有一
→ wrvuxci     : 些什麼但不多或不常見，我的認知是這樣
→ wrvuxci     : Courant & John 寫在Axiom of Archimedes 底下那句
→ wrvuxci     : In essence, ...，他們是在期待一些target reader
→ wrvuxci     : 能先藉由直覺快速理解大概的意思(畢竟這只是微積分)
→ wrvuxci     : 但是不看那句話，完全用AA的字面意思理解也是絕對沒
→ wrvuxci     : 問題的，直到extended real number 建立起來再定義
→ wrvuxci     : 有限就好（不過這本後面我沒看下去，我比較熟Rudin
→ wrvuxci     : 一旦一個概念只用直覺來描述，一來推理上不好操作
→ wrvuxci     : 另一個潛在問題是說，不能保證每個人的直覺都完全一
→ wrvuxci     : 樣，一些比較基礎的還好，大家的直覺也許不會差太多
→ wrvuxci     : 像Courant & John這樣用，教學上也是很常見，但比較
→ wrvuxci     : 深的概念就不好說了
→ wrvuxci     : 我現在還是沒理解潛無窮或超無窮的概念，可能是因為
→ wrvuxci     : 我心裡沒有那個直覺，我只能看未來是否有個嚴謹的定
→ wrvuxci     : 義出現，需要哪些假設都寫下來，這樣就能從字面意思
→ wrvuxci     : 理解
推 R2003       : 我可能寫太快，所謂不能給直接定義應該是說沒法符合
→ R2003       : 原先既有結構的infinite定義，邏輯一定會有矛盾
→ R2003       : 但確實如w大所寫，蠻多定義都後來才補上
→ R2003       : 也因此原Po如果致力於找"infinite"後面是甚麼
→ R2003       : 或許也要同時想更底層的邏輯系統，提出order set中
→ R2003       : 元素自身有限的定義，否則難以討論infinite之後
→ ginstein    : 感謝各位大大的寶貴評論與建議，我整理一下FAQ，梳
→ ginstein    : 理一下定義，術語和模糊處，也為創造性的無限打底
→ R2003       : 突然想到回一下原Po "有限非得對應自然數個數?"
→ R2003       : 按照一般定義，有限必然可數(反之不一定)
→ R2003       : 可數就是集合內元素跟自然數間存在1-1函數
→ R2003       : 因此我前段最後提及的定義finite更像是指優化或是取
→ R2003       : 代上面這(我個人認為非常直覺的)性質
→ ginstein    : 有給數字有限的定義, 見有界與有限. 不同點集有限.
→ R2003       : 那這樣你還是沒懂我指出的問題在哪
→ R2003       : 標準分析下，element沒有finite的定義
→ R2003       : 也沒有符合order set的element infinite定義
→ R2003       : 於是透過ε-δ定義出infinite的情境
→ R2003       : 符合的就稱為infinite，再透過數學本身建立於排中律
→ R2003       : 的基礎上，推論出不符合infinite情境的element可稱
→ R2003       : 為finite
→ R2003       : 而不是從AP就莫名其妙推過來
→ R2003       : 因此，當你今天聲稱infinite後面還有東西/意圖探究
→ R2003       : infinite後面是甚麼時
→ R2003       : 你就無法定義何為finite element
→ R2003       : 因為不是infinite有可能是finite也可能是infinite後
→ R2003       : 的東西
→ R2003       : 你不同時處理這，是無法證成infinite後面還有東西的
→ R2003       : 況且你似乎還想重建極限，那infinite也說不清楚了
推 R2003       : 另外，你的這主張會在topo上出問題(就目前所學而言)
→ R2003       : 標準分析下，whole real不是compact，非常糟糕
→ R2003       : 所以弄出了extended real，超棒
→ R2003       : compact了(real的compactification)
→ R2003       : extended real is homeomorphic to unit circle
→ ginstein    : 謝R大評論。AP的意義我之前沒解釋清楚，下次發文目
→ ginstein    : 標達成後，看有無簡短解釋。另外，標準分析中不存
→ ginstein    : 在無窮小與無窮大，因此必然在標準外賦予存在性。
→ ginstein    : 修正：數字概念的無窮小和無窮大