[中學] 關於克拉瑪公式之疑問

[achibluu (achibluu)]

近期可能頻繁發文  再麻煩版上各位大大幫我解惑
https://imgur.com/qJPJcNd
克拉瑪之幾何意義中講義有提到'有向面積一詞'
我的理解是其用意是讓x為負數時最終結果能表現出來 否則面積應恆為正
這樣就解不出來了
https://imgur.com/pp1uIkG
我做的操作就是把用二階行列式中的絕對值去掉 讓x的正負能表現出來
如上圖

但我對'有向面積'還是蠻疑惑的 正負代表此面積之方向?
https://imgur.com/bn07AKU
且我對行列式之理解是源自於此
就二階行列式運算出的結果一數值而非有幾何意義之表達?
我覺得我對二階行列式也有些疑問

而幾何意義我是這樣理解的
c向量與a向量所張面積與a向量與b向量所張面積
我是如第一張圖講義的操作 我把a向量想成固定的一水平向量
c向量提供的水平向量(與a平行之向量)將不會對平行四邊形面積產生影響
取其對垂直(與b平行之向量)所提供之向量就可以求出y為何了

以上是我的疑問 再麻煩各位版友了 感恩

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→ achibluu    : 痾痾我覺得我語句好不流暢 請各位多多包含
→ achibluu    : 還有一些我做的愚蠢理解之類的
→ achibluu    : 再麻煩大家指正 謝謝
→ Ricestone   : 有向面積不是克拉瑪公式想講的東西，你的問題還是
→ Ricestone   : 來自二階行列式
→ Ricestone   : 實際上任意階行列式的絕對值都是那個維度的向量組出
→ Ricestone   : 的體積（二維時就變成面積）
→ Ricestone   : 只是行列式計算方式兩個向量對換會差一個正負號
→ Ricestone   : 所以用有向體積來表達會有正負而已
→ Ricestone   : 至於為什麼行列式是有向面積，那就是你的焦點20在
→ Ricestone   : 證明的東西
→ Ricestone   : 當然如果後面學習線代還會有比較直觀去解釋為什麼
→ Ricestone   : 會是體積
推 ERT312      : 把焦點二十裡行列式的絕對值拿掉就是有向面積了
→ ERT312      : 可以試著自己證明若是由AB向量逆時針掃過面積到達AC
→ ERT312      : 面積會是正的，順時針則是負的
→ ERT312      : 利用有向面積再去檢查焦點二十二的圖，你會發現不管
→ ERT312      : x,y是正是負，公式的形式不變
推 ERT312      : 利用有向面積的概念去看二階行列式的運算規則可以很
→ ERT312      : 具體圖像化，但代數證明應該還是比較快
推 wallowes    : 應該是說來自二維空間的向量的外積
→ wallowes    : 比方說原本的二維空間是x、y，那外積只會產生z方向
→ wallowes    : 面積
→ wallowes    : 這就是有向面積的意思，就是垂直於原本面積的方向
→ wallowes    : 但面積的大小又只是原本面積的大小
→ wallowes    : 這就是無向面積
→ wallowes    : 來自三維空間的向量的外積
→ wallowes    : 才不會是單純的z方向，只能以+或-表示
→ wallowes    : 是因為來自二維空間的向量的外積才只會有+、-方向
→ wallowes    : 因為他必定垂直於x跟y張成的面積，那方向只會是z
→ wallowes    : 但現在考慮x、y、z張成的體積，要垂直於這個體積的
→ wallowes    : 表達就不會是單純的+、-
推 wallowes    : 哇，說錯很多
→ wallowes    : 兩者都是x、y張成的平面
→ wallowes    : 但前者的垂直方向只會是z，也就是+、-的意思
→ wallowes    : 後者的方向就沒有侷限在z的方向了
→ wallowes    : 所以這時候不會單純的用+、-表達
→ wallowes    : 不對
→ wallowes    : 是前者是沒有z方向，只能以+、-表示方向
→ wallowes    : 後者才有z方向...
→ wallowes    : 我應該先釐清再回答的
推 wallowes    : 一開始說的好像才是對的，被gpt誤導了?
→ wallowes    : 後者是兩個來自三維空間的向量的外積
→ wallowes    : 所以展開的平面不會再在x-y平面上了
→ wallowes    : 所以垂直的方向也不再是z
→ wallowes    : 這樣就對了吧...
推 ibiwwn      : https://i.imgur.com/tm58r4u.jpeg
→ ibiwwn      : https://i.imgur.com/QB0Ykfb.jpeg
→ ibiwwn      : 第一張圖檔無法開啟，請參考第二張圖檔
→ ibiwwn      : 下方圖檔是利用底乘高的證明，你也可以參考看看
→ ibiwwn      : https://meee.com.tw/Qf7qNog
→ ibiwwn      : https://i.meee.com.tw/Qf7qNog.jpg
推 yueayase    : 以我的直覺，如果有行列式與矩陣乘法的關係
→ yueayase    : 應該可以從線性變換的角度，解釋面積之間的轉換
→ yueayase    : 但我也沒真的弄過，所以現在不能明確講給你聽應該是
→ yueayase    : 細節應該是怎樣
→ yueayase    : 但現行高中課綱，課本我不大確定還有沒有介紹
→ yueayase    : det(AB)=det(A)det(B)? 這個推導沒用基本矩陣_
→ yueayase    : 到三階，可能會變成複雜+難以直觀解釋的代數操作