Re: [中學] 不要太依賴chatgpt

[yueayase (scrya)]

: 推 solumate    : 你的解法跟窮舉的麻煩程度已經相差無幾了，甚至窮    01/10 13:13
: → solumate    : 舉可能還更快一點。沒有價值的解題方式，還一直堅    01/10 13:13
: → solumate    : 持敝帚自珍。自己都唸到休學了，還不知道自己多少    01/10 13:13
: → solumate    : 斤兩？想教人家數學喔？                            01/10 13:13

我必須強調
我分享解法並非為了炫技


我們可以看看網路上找到的各家對於學測112數A，單選第6題的解法:

翰林雲端學院:
https://reurl.cc/ORgnDX

Yadis 數學專欄:
https://drive.google.com/file/d/16-WAX3GbuEKzKH7Gbe0ynxUuOmnFYWQs/view

鄭奇數學:

https://reurl.cc/Db7EDR

巫老師高中數學:
https://top1tutorinasia.com/112-college-entrance-exam-math/.html


李華介教授:
https://math.ntnu.edu.tw/~li/108/112A.html


霧島簡評112學測數學A:
https://home.gamer.com.tw/artwork.php?sn=5658736


看出來了嗎?
很多解法(例如上述連結前4個)根本就是全部列出來，
列出來的全部都是以C(7,2)當樣本空間在考慮

李華介教授因為說明簡短，不知道他怎麼優化細節，
因此，我難以判斷他是否也是分類後，全部列出來考慮，
但他提出了內積和，有點像是期望值可用:

總獎金/總次數 計算的概念

唯一提出用C(7,2)當樣本空間解法的霧島，
他在提出這個最佳解時，前面也是全部列舉給你看
而那個最佳解仔細看有一句很值得玩味:

其中重複選取的AF、AG...


他這句很曖昧的表示了:

我用某種方式合併之後，最後分子正好就是3*C(4,2)

很難說到底是看了列舉完21個後，歸納出來的心得
還是他一開始真的腦中能很清楚的"心算"自動合併





這也回應到我一開始發表解法的初衷：

把P、Q兩座標視為無序的，當樣本空間，
似乎不大容易用先前排列組合和機率的基本技巧組合起來計算




我自己的解法為什麼不是真的列出P(7,2)種，以及C(7,2)種所有可能
再分很多類(甚至不分了，直接列出來)?


很簡單，我心裡有這種圖像概念:


選其一分量指定都為1 X 剩下2分量不要出現有同時為1的情形
P(1,x,y)
Q(1,u,v)


剩下2分量不要出現同時為1，我自己認為有扣得比較直接點

有出現同時為1的不就是剩下選1位都指定該位是1，剩下的座標讓2個相異就好

然後C(2,1)*2就跑出來了


至於(x,y) (u,v)相異，想像他是binary string，大約就是可以想成取出00,01,10,11
相異給這2個，有P(4,2)


我腦中有這些想像，也不用把12種全部列舉出來，確認後面那一個:
剩下2分量不要出現有同時為1的情形

確認可以和前面指定為1的部分，
類似排列組合一開始乘法原理樹狀圖的"配對"方式表示

我就很肯定:

恰1個分量都為1的排列組合樹可以長這樣:


選其一分量指定都為1 X 剩下2分量不要出現有同時為1的情形

P(1,x,y)               (x,y)=(0,0)
                  X
Q(1,u,v)               (u,v)=(1,1)
以上是舉例，
注意: 我舉例不需要舉出所有可能，只需要有個示意圖，然後保證邏輯正確即可

C(3,1)           X  (P(4,2) - C(2,1) *2)

就這樣生出來了

其他情況我就不贅述，特別是內積為0的，算期望值時根本不會貢獻，不用算


同時，藉由這種分析方式發現:
我不應該選C(7,2)當樣本空間，應選取P(7,2)才對
這就是我當初發表文章分享解法希望傳達的
(其實為什麼原先C(7,2)可以用P(7,2)?
 這個道理很簡單: 因為選用P(7,2)頂多把原先那個無序的，多copy一份出來
 計算後，仍然符合原先等機率的假設，
 這正好就是以前老師常說的: 選C(7,2)和P(7,2)當樣本空間都可以的理由
)

過程中，我只要腦中大概有那個樹狀圖"大概的"圖像概念即可，
只需要邏輯上真的可以變成那樣，"完全不需要"一個一個列出來
這就是學習排列組合那些技巧的真正精神




我接下來引用以上連結李華介教授的評論:
前面所提，相信一般高分組的同學都理解，也相信是用前述的坐標表法處理。
令人不解的是
7個向量選兩個相異的向量內積，
也僅有21種選取方式，
為何高分組僅有的55%答對率呢？
或許對於處理排列組合的問題，我們應該再次強調如何用分類的方式有系統的計數，
而不是一再的練習一些特殊的解法。


關鍵字: 分類、有系統的計數



我想原PO大約沒有理解到:

排列組合所學的計數技巧，主要目的就是:

有系統性的計數、避免需要一一列舉



因此，他似乎難以理解我這種解法，到底跟真的全部列舉出來的差別在哪?

但我要提醒一個觀念:

大考主要還是要有辦法答對，所以用列舉的方法是OK的
重點是要避開: 沒有考慮清楚地多算和少算
這題如果以C(7,2)當樣本空間，才21種，的確列舉以考試拿分而言是可行
(但前提是要有空間書寫...)



然而，比較之下，
可以看出我的方法，並不需要分太多種類，
更不需要真的(0,0,0)(0,0,1) ... (0,0,1)(1,1,1)
列出這些長相才能計算，

只需抓到可以拆解成以往所學排列組合基本技巧的那種正確的"樹狀圖"的長相即可




呼應到李華介教授所言，

學那些概念，本來目的就是:

希望在不需要一一列舉的情況下，

可以有效率地計算出總共的排列組合數




個人認為，

我這個方法雖然還不到能夠用1~2行算式就能解決

但已經有達到充分利用排列組合技巧、沒有用太多過於特殊的技術去解了

而且過程中沒有那種需要"大量"列舉、分類的動作


我認為這個解法已經足以讓高中生參考和學習


如果因為我為了講解，寫很多字、舉很多例子，
居然被認為我的作法 = 窮舉，
根本不是一題平均5分鐘內，可以想到、比列舉還快的作法，
我也很無奈啊...

我真的要炫技，直接把有計算的算式列出來，
看起來短短的很厲害就好，
何必花這麼多篇幅+解釋?
我原先立意良善的意圖，居然被這樣負面解讀，
我也感到十分無奈...




此外，
我也有帶過一些學生的經驗(大多無償)，
很多人就像事主一樣:
為什麼我要學那些有的沒有的技巧?
直接暴力展開去算就好了啊?



其實，這點在教學現場常常感到很無奈，
因為大多數學生難以理解，用這些更好的方式，
到底可以幫助他們在考試上贏得多少分?


對於沒有辦法馬上吸收和理解的學生們，
真的看過不少像是:
要計算畢氏定理斜邊長，寧可一個一個平方展開，在相加
也不願意學先提出公因數，然後用常見畢氏組數快速求解的


在他們心中，多學一個方法 = 額外增加的負擔(無誤)



我想數學不好其實是大多數人都會出現的議題，
但大家都知道，很多時候生活中不需要用到太多數學技巧


數學不好並不是什麼很需要自卑的事情，
但網路上偶爾有些人把數學好壞的優越感，
當作某種不知道要表達自己哪裡多好的工具



太過功利主義的結果，往往很難在學數學的過程碰到這種挫折，
持續撐下去把內容學會
這件事是正常現象，大多數人都多少會碰到這種撞牆的時期，
但有些人整天把目光焦點放在結果上，
以人性來講，沒有多少獎勵的東西，難以吸引人...
正常但卻諷刺，也影響了不少學子學習數學的成果(物理似乎也差不多...)

反正常聽到那種: 學這個要幹嘛，我會算數就好了...
我最後都不想去回答什麼
因為世界上真的不用數學的事情很多，不用去較真啦...



回想當初我學排列組合時，不懂解法
一開始就慢慢自己列舉看看，在觀察跟算法的關聯性，
雖然一開始學習進度很緩慢，看來無意間抓到正確的學習方式了

我也對此感到驕傲

畢竟能克服自己以往不會的東西的成就感，
不需要向別人特別證明什麼...



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推 solumate    : 你最該克服的，是10幾年都沒工作，快40歲的人了，連
→ solumate    : 養活自己都沒辦法，克服這個問題，學會正確的生活方
→ solumate    : 式，不但更有成就感，也更有尊嚴。
推 solumate    : 其實你解那麼醜，大家當然知道不是炫技，只是知道
→ solumate    : 你沒有真正理解問題，才解的這麼狼狽。後面還辯解
→ solumate    : 用chatgpt是因為語言表達能力不足，麻煩費曼學習法
→ solumate    : 理解一下。