[分析] 可微性在不同運算空間之間保存?

[R2003 (費邊)]

RT

近日剛接觸複變

當然會碰到 complex function f 於z_0可微的定義

即以下極限


       f(z_0+h)-f(z_0)
lim    ---------------      存在,  z_0屬於 C
h->0        h


又Apostol有一定理提到

n變數函數可微的充分條件是

某個偏導存在，且另外的n-1個偏導存在並連續



我就想那是不是後者也能推至前者

(因為單就集合本身而言，C可以視為跟 R x R 同構)

但在跟助教確認過有反例後(原因是運算規則不同):

f(z) = |z|^2

在C中，f不可微

用R^2形式寫即為 (x^2+y^2)+0*i

對x偏導存在(2x)，對y、0偏導存在且連續(2y、0)

所以R^2下，依Apostol的那個定理，f(z)可微


於是就好奇，R^2跟C的可微性不能保存是因為運算規則不同

那一般下，兩個不同運算的空間之間，

是否有滿足一些條件即可保證可微性的存在，即:

M and S are two different spaces with different operations,


f: X -> X is differentiable on X, X in M

phi: M -> S

phi(f): Y -> Y, Y in S


What are some conditions, if exists, for phi to satisfy

such that differentiability of f on X is preserve on Y after mapping,

that is, making phi(f): Y -> Y differentiable on Y?


希望大大們能給我一些答案

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.14.24.214 (臺灣)
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※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/06/2026 14:16:23
推 wrvuxci     : Cauchy-Riemann equation是你要的嗎
好像一半是(我一邊回應一邊再釐清自己的問題)，

Cauchy-Riemann 理解到現在是

一複變函數，若取其實部、虛部至R^2上處理後，皆可微並連續

則，R^2上滿足此方程 iff 該函數在C上可微


但我想問的是在更一般情況下，任意兩個不同運算規則的空間中

若存在一個兩空間的映射，

那是不是存在一些條件，滿足後，

可以使被映射的物件(即function)在原空間的可微性

經過映射後，在另一個空間中的運算規則下也一定可微?


**也就是想知道數學上有沒有這樣的條件，先問有沒有，有的話再問是啥

要是沒有，那cauchy-riemann是特例嗎?

因為太多空間跟R的運算規則不同了，怎麼就只有C跟R^2之間有這樣關聯
※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/06/2026 19:04:47
→ wrvuxci     : R^2可微+Cauchy Riemann可推出C的可微
→ wrvuxci     : 那可能要比較深的題材了，大學數學系範圍有講"可微"
→ wrvuxci     : 概念的基本上就R^n跟C，你要有四則運算才能定義可微
→ wrvuxci     : 基本上啦，再抽象化就是可能分析領域的研究了
→ wrvuxci     : 說不定有一些什麼normed space 或 Sobolev space也
→ wrvuxci     : 可以定義類似概念，我就不是很熟了
推 wrvuxci     : 或者說你要不要舉例你想的「其他空間」可能是哪些
其實沒有太多想法，單純是好奇
但真要舉其他空間的話，R^n 集合但不同norm組成的空間，例如p-norm (?)
當p=2時就是euclidean norm，那一樣R^n集合但採用其他norm的空間

又或是始終沒有完全看懂證明的Arzela-Ascoli theorem中作用的函數空間

或是...那個老師在高微時隨口提的Banach Space、Hilbert Space
(我完全不知道這倆有啥作用，
 只知道定義分別是complete normed vector space 跟 complete inner product space)

推 wallowes    : 問了一下AI
→ wallowes    : 若在C可微則R^2可微
→ wallowes    : 但R^2可微C不一定可微
→ wallowes    : 因為C的證明是從任何角度逼近但R^2只從兩個方向逼近
蛤? R^2 你要從任何路徑方向逼近都可以啊，應該不是這樣吧(?)
R^2 從x=y 這條線也能逼近啊，也可以從x^2拋物線逼近啊

→ wallowes    : 不過AI有說C可微iffR^2可微
→ wallowes    : 但他說R^n(n>=3)之後，因為沒辦法保持角度
→ wallowes    : 只有在 2 維空間，向量的旋轉剛好可以用代數乘法完
→ wallowes    : 達，這才讓 Cauchy-Riemann 方程式成為可能。
→ wallowes    : 以上是Gemini的回答
我為啥感覺Gemini在胡謅?

依我記憶有點遙遠的線代，旋轉似乎都能用矩陣表示，
又矩陣某種意義上是係數的表示，那這樣不能用isomorphism去反推出來嗎?

還是我記錯了(?)

→ wallowes    : 我怎麼覺得Gemini比Chatgpt強很多的感覺
→ wallowes    : Chatgpt現在一直偷看我過往對話來猜測我的喜好...
※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/07/2026 01:23:44
→ wallowes    : 中間漏字若滿足柯西黎曼方程式則C可微iffR^2可微
推 wallowes    : 所謂的R^2不是x是輸入y是輸出嗎?
→ wallowes    : 既然輸入端只能走x，所以只能從x兩端逼近來證明
→ wallowes    : 但z平面是同時以x,iy來表達輸入
→ wallowes    : 那就能從任何角度逼近
→ wallowes    : 應該是我搞錯了，AI糾正我了
→ wallowes    : 有點久沒碰複變分析了
→ wallowes    : 我想成了y=f(x)
→ wallowes    : AI是說，2維以上沒辦法有完美的乘除法
→ wallowes    : 所以那些導數定義在3維以上就不可行了
→ wallowes    : ">2維，不是2維以上"
→ wallowes    : AI說矩陣乘法不具備交換率，且矩陣沒有除法
→ wallowes    : 那導數連定義都沒辦法算
矩陣本身就是operator了，就像回到2x2矩陣代表2維送到2維的轉換

其實Cauchy-Riemann就是2x2 Jacobian的每個element 的一種特殊要求

而這剛好和某類旋轉矩陣一樣

我上面回應的疑問就是有沒有可能

透過isomorphism找出旋轉後去反推回jacobian?

→ wallowes    : 修正"是向量沒有除法"
※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/07/2026 02:11:34