[幾何] 用歐拉定理不就可以證明四色定律嗎

[peter0122 (蠢草白癡多)]

歐拉定理是不是已經證明了，
五個在同一個平面上不重疊的顏色，
不可能任一顏色都跟其他四個顏色都有相接？
那就代表，
必定有一個無法跟其他四個顏色都相接的顏色，
它頂多就只能跟三個顏色相接，
那這個顏色其實就可以換成那個跟它不相接的顏色，
這樣就是四個顏色，
也就滿足了是四色定律了

同理如果平面有無數個顏色，
任意取相鄰的五個顏色，
用歐拉定理就可以知道，
這五個顏色不會每個顏色都跟其他四個顏色都相接，
所以必定有一個顏色可以換成沒相接的那個顏色，
那這五個顏色，可以變成四個顏色，
也就滿足四色定律

那為什麼一直說四色定律無法用公式證明？
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→ Ricestone   : 因為地圖不只五塊啊
→ mantour     : 你一次只看5塊，換顏色的時候，怎麼確保不會跟這塊
→ mantour     : 相臨，但不在你選的那五塊的其他格撞色
→ mantour     : 任選5塊都可以用4色標成相鄰不同色，跟整張圖可以
→ mantour     : 同時用四色標成相鄰不同色是不同的命題
我可以反過來說嗎 
歐拉定理證明只要是四個互相都相接的色塊，
肯定不會有第五個色塊與這四個色塊都相接
就算有第六個第七個或以上也一樣
所以四色就夠用
如果以上敘述是正確，
那放大到無限大的平面和無限多圖形，
上述也會成立
電腦跑出來的結果 不就證明了
※ 編輯: peter0122 (49.216.31.156 臺灣), 05/06/2026 17:10:10
→ Ricestone   : 你所說的事情就是不夠  把需要證明的部份省略掉了
→ Ricestone   : 用比較實際的例子說明，現在假設地圖有六塊，編為
→ Ricestone   : ABCDEF，你所講的就是說選ABCDE時可以用四色，而且
→ Ricestone   : 選ABCDF時也可以用四色，當然為了用色最少，這兩種
→ Ricestone   : 四色時我們都用同樣的四色且ABCD用的也都一樣
→ Ricestone   : 但這樣沒辦法直接推到合併時E跟F不會出問題
→ Ricestone   : 當然如果你繼續說「那就再換一下」，那當然會有成功
→ Ricestone   : 的結果，因為這是四色定理  但怎麼換就是需要證明的
→ Ricestone   : 部份
→ Ricestone   : 我前面講的還有個漏洞，就是這樣寫也不能保證兩次    05/06 19:06
→ Ricestone   : 的ABCD真的可以用同樣的四色
→ Ricestone   : 喔，ABCD都只有一塊的時候應該可以，我的意思是當
→ Ricestone   : 地圖更多塊時，單純的代換顏色可能行不通
我講的是已經被證明是事實的歐拉定理
這是一個數學原則，
在無限大的平面跟無限多的色塊
任何的局部如果是四色塊相鄰的話
就不會有第五個色塊跟這四色塊都相接
所以四色就夠用
就算有無數個相接四色塊有相鄰或重疊
也會遵守歐拉定理，不需要第五色
所以放大到整個平面都一樣
我講的是數學的原則
你講的是有可能的例外漏洞
但例外漏洞有發生嗎
你可以舉出一個任何例外漏洞出來嗎
電腦跑出來的結果不就是沒有例外漏洞嗎

推 wrvuxci     : 塗到的後面的時候，有可能某一塊的鄰域已經出現四個
→ wrvuxci     : 不同的顏色，儘管這四塊並不一定是彼此相鄰
※ 編輯: peter0122 (49.158.150.150 臺灣), 05/07/2026 13:56:42
→ mantour     : 這個定理正確 跟你的證明完備是兩件事 我們說的是
→ mantour     : 你的證明用到的某個推論缺乏根據，但是命題本身有
→ mantour     : 可能是對的 這種情況沒有反例不代表你的證明是正確
→ mantour     : 的
→ mantour     : 如果你需要電腦跑出來沒有漏洞才能支持你的命題正
→ mantour     : 確，那就是用電腦的結果才能完成這個證明，而不是
→ mantour     : 一個不需要電腦的證明了
推 wrvuxci     : 好像懂你的意思，但可能有個地方被混淆了。感覺你是
→ wrvuxci     : 在說，如果已經有一張地圖塗好了五種顏色，你可以用
→ wrvuxci     : 這可定理保證一個顏色可以換回其他四個中的一個？
→ wrvuxci     : 但是如果這五個顏色的區域有一個不是連通的，例如紅
→ wrvuxci     : 色被塗到兩個分開的地方，那麼這個定理就不適用，減
→ wrvuxci     : 色的操作就無法確保成立
→ Ricestone   : 尤拉定理是尤拉定理  四色定理是四色定理
→ Ricestone   : 兩個都是定理  你講的東西的思路就是用尤拉證明四色
→ Ricestone   : 所以是你要去說明為什麼尤拉可以去「證明」四色
→ Ricestone   : 你現在的邏輯就是像「因為"1+1=2"，所以"二次互反律
→ Ricestone   : "是對的一樣  他們都是定理所以用電腦當然不會有例
→ Ricestone   : 外
→ Ricestone   : 不然其實你根本誤會了四色定理的電腦證明
→ Ricestone   : 即使是電腦證明也不是直接對無窮的狀態去做窮舉的
→ Ricestone   : 我們是先證明只需要驗證有限的狀況，再用電腦去弄
→ Ricestone   : 不然就是你沒有察覺到你的邏輯有問題，你講很多次
→ Ricestone   : 五塊可以，「所以」無數塊也可以   這邊的「所以」
→ Ricestone   : 並不是自然的邏輯推導
→ Ricestone   : 後面那句話就是四色定理，它的正確性直接來自四色定
→ Ricestone   : 理本身，而不是由你那句話的「所以」自然推導過來的
→ Ricestone   : 假設你想表達數學歸納法好了，你現在說的就是當n=5
→ Ricestone   : 時成立，然後就直接講n任意數都都成立了
→ Ricestone   : 數學歸納法需要證明的地方就是假設n=k時成立，再用
→ Ricestone   : n=k的基礎去證明n=k+1時也成立  我前面會說塊數更多
→ Ricestone   : 時直接代換顏色行不通就是指這裡會有問題
→ Ricestone   : 還是你沒有看懂ABCDEF的例子為什麼我說的操作會有
→ Ricestone   : 問題？  E跟F相鄰的話就會出錯了
→ Ricestone   : 所以你要證明的話得先弄出一個一般化都不會有問題的
→ Ricestone   : 六塊的操作方式，而且還得要更一般化到能夠證明k到
→ Ricestone   : k+1也不會有問題的操作方式
→ Ricestone   : 不然的話你就只是證明6塊時可以成立而已
→ Ricestone   : 當然，前面每個有限的階段你都可以說電腦跑都不會有
→ Ricestone   : 例外   這句話甚至用不到尤拉定理
→ Ricestone   : 但k到k+1這一步你要如何使用電腦驗證呢？
→ wrvuxci     : 接續我前面的留言，因為你一直在說顏色相不相鄰，但
→ wrvuxci     : 定理敘述並不是「平面上的五個顏色不能兩兩相鄰」
→ wrvuxci     : 而是「平面上的五個連通區域不能兩兩相鄰」，如果允
→ wrvuxci     : 允許使用飛地的話，五個顏色兩兩相鄰是可能的
→ Ricestone   : 不然可能要反回去重新問原po的尤拉公式為什麼會得到
→ Ricestone   : 那樣的結論   不然尤拉公式直接證明的應該是五色定
→ Ricestone   : 理
→ wrvuxci     : Just to be clear 我主要都是回應原PO的內容而已
→ hwanger     : 這裡所說的地圖就是我們印象中的地圖, 而以下所提
→ hwanger     : 到的區域都直接假設是連通的, 並全部省去精準的定義
→ hwanger     : .
→ hwanger     : 注意到原 po 用 Euler characteristic 能夠證明的
→ hwanger     : 其實是下面這個命題:
→ hwanger     : """不存在一張平面的地圖、使其圖上至少有五個區域
→ hwanger     : 彼此有鄰邊相鄰"""
→ hwanger     : 然而這個命題並不顯然地等價於四色定理
→ hwanger     : (至少不是我們一般認為的等價、而非單純只是因為兩
→ hwanger     : 者皆為真所以等價)
→ hwanger     : 原 po 證明的漏洞在於錯誤地認為下面這個敘述是可以
→ hwanger     : 簡單得到的
→ hwanger     : (*) """如果有一張地圖不存在 m=5 個區域彼此有鄰
→ hwanger     : 邊相鄰, 則這張地圖只需要 m-1 個顏色即可著色"""
→ hwanger     : 觀察到原文後半段是應用 Euler 的性質來肯定 (*)
→ hwanger     :  的前件, 而非用來證明 (*) 本身, 並且原 po 對 (*)
→ hwanger     :  的論證和 m 是否為 5 是沒有關係的.
→ hwanger     : 但是 (*) 在 m=3 和 4 時是有反例的:
→ hwanger     : 將極座標平面用 θ=0, 2π/5, 4π/5, 6π/5, 8π/5
→ hwanger     :  五條射線分成 5 塊區域, 則你在這張地圖上是找不出
→ hwanger     :  3 個區域、使得其彼此之間皆有鄰邊相鄰, 可是這張
→ hwanger     : 地圖卻仍然需要至少 3 個顏色才能著色.
→ hwanger     : 而 m=4 的反例則只需在上述地圖中心再加一個圓盤即
→ hwanger     : 可
→ hwanger     : 題外話, 或許試著思考 Alfred Kempe 的證明錯誤在
→ hwanger     : 哪, 可以幫助原 po 釐清自己的證明哪裡不足