[中學] 國中三角形邊長限制，不精確答案的題目

[smallvul353 (我就油)]

有點不確定這樣可不可以發在數學板，如有不行麻煩來信告知

親戚的小孩跑來問的補習班的數學題目，國二
先給原題目和答案

正三角形ABC邊長為4，內部存在一點P，PA + PB + PC = K，求K的範圍

題目給的正解：6 < K < 12

小孩沒寫算式但是靠直覺將P放置在正三角形正中心解出下限得為4√3
然後又靠直覺把P放置在三角形的頂點解出8

這題如果用高中的想法來看下限是費馬點的問題，正三角形的費馬點就在正中心
所以小孩的答案肯定是沒問題的儘管他不知道怎麼證明而且也超綱

後面知道單元是在講三角形的邊長限制後也大概知道6這個答案是怎麼生出來的

PA + PB > AB，PA + PC > AC，PB + PC > BC

2 ( PA + PB + PC ) > AB + AC + BC = 12

PA + PB + PC > 6

然而12的解法是
PA + PB < AC + BC

PB + PC < AB + AC

PC + PA < BC + AB

2 ( PA + PB + PC ) < 2 ( AB + AC + BC )=12

PA + PB + PC < 12

結果後來我也跑去問結果傳回來的解釋是這題的正規解法太難
這種方式可能比較符合國中程度

但我聽了之後一整個覺得WTF，現在數學教學的方式是可以這樣的嗎？
在事實上明確存在更正確答案的狀況下是可以因為這種方式比較符合國中程度
就挑一個不精確(不正確?)的數字當答案的喔 我整個傻眼
雖然可以理解是為了符合單元的題目 但我還是覺得光是上限的解法就很有問題
如果畫圖畫在正中心 PA + PB < AC + BC 的範圍就過大了
如果畫在靠近頂點 PA + PB < AC + BC 那 PC 就接近0去了 根本不存在12這上限

換個三角形可能就蒙混過去了但偏偏這題是正三角形所以那個孩子很直覺地帶正中心
又很直覺地帶頂點 然後就跑來問哪邊會小於 4√3 哪邊會大於 8 想問大家的想法
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後來我給他上限的解法我是這樣用的，但我覺得有點過於麻煩
而且剛好這題是正三角形才比較好說明，有沒有人可以指教更簡單的解法

在ABC中設置任意P點並畫通過P點且平行於BC的線段 交AB於E點 AC於F點 則
PE + EB > PB
PF + FC > PC
PE + EB + PF + EC > PB + PC
EF + EB + FC > PB + PC
EF = EA (三角形AEF也是正三角形)
EE + EF = AB
AB + FC > PB + PC

∵ ∠APF > ∠AFP
∴  AF > PA

AB + FC + AF > PA + PB + PC
AB + AC > PA + PB + PC

順帶一提費馬點那個我用正規方式解釋他聽不懂
結果發現他懂一點向量用向量的方式講他反而理解了

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※ 編輯: smallvul353 (114.38.71.159 臺灣), 06/08/2026 22:59:44
推 R2003       : 邏輯上(4√3,8)⊂(6,12)，所以其實沒有問題
→ R2003       : 好啦...認真回
→ R2003       : 就我所學，其實原解法的思路會更好
→ R2003       : 直接用三角不等式去推通解的上下界
→ R2003       : 原解法的問題在於，過程中沒有去檢視domain
→ R2003       : 才會推出這沒有意義的trivial solution
→ R2003       : 相對的，大大你的證明過程用到了equilateral的性質
→ R2003       : 會讓整個證明沒法一般化，縮小成本題的特解
推 R2003       : 但當然只用三角不等式，應該還是只能推到(6,8)
→ smallvul353 : 確實通用解比較泛化也試用較多事物 但這件事情好像
→ smallvul353 : 很難跟小孩子進行解釋 不如說我感覺我自己也在鑽牛
→ smallvul353 : 角尖了
推 R2003       : 我認為與其跟小孩子解釋為何通解優於特解
→ R2003       : 不如讓他自己體會
→ R2003       : 他現在有很好的直覺去看正三角形，那問他其他三角形
→ R2003       : 她每解出一個就再問一個，會需要一點時間，
→ R2003       : *他
→ R2003       : 但最終他一定會感覺疲勞或是有發現存在重複性的步驟
→ R2003       : 這時候去引導出通解的概念會更好理解
→ R2003       : 就像(舉例)以前練球時，壞習慣的姿勢不對時
→ R2003       : 教練也不再一直重複，就拼命餵球
→ R2003       : 身體疲勞就會不自覺地擺成正確姿勢
→ R2003       : 所以大腦累了就會想去找出規律
推 Vulpix      : 費馬點也可以只用三角不等式證明啊……
→ Vulpix      : 如果補習班給的題目是選擇題的話，還有迴旋的餘地
→ Vulpix      : 。但如果是填充問答，那答案就不適當。不然隨便寫
→ Vulpix      : 下限6.5、上限9就又是一個可行的答案了。
推 R2003       : 樓上大大可否給點方向或說明
→ R2003       : 我只用三角去推是推不到(4√3,8)，只推得到(6,8)
→ R2003       :   ~~~~
推 Vulpix      : 就是標準的費瑪點幾何證明，最後的步驟就是兩邊和大
→ Vulpix      : 於第三邊。
推 Vulpix      : 然後關於上限，原po的作法就是好方法了。不正的三角
→ Vulpix      : 形，上限是兩長邊和，可以用差不多的方法證明。
→ Vulpix      : 這個上限僅是「最小上界」，剛好碰不到的那種。
→ arrenwu     : 題目問K的範圍當然是不能這樣寫啊
→ arrenwu     : 從解釋來看，題目要的是 K的一組上下界
→ arrenwu     : 但如果只是要上下界，寫 0< K < 10000 也行
→ arrenwu     : 在我看起來這名題有點不三不四
→ arrenwu     : 如果對方有好奇心，你可以細心講解
→ arrenwu     : 如果只是要準備考試這題我覺得不太重要
→ tan7312     : https://i.imgur.com/P3PGsf3.jpeg
→ tan7312     : 以C為圓心把三角形逆時針旋轉60度，不難證明你那兩
→ tan7312     : 個答案。
推 Vulpix      : 如果懂微積分的話，所有臨界點都不可微，最多四點：
→ Vulpix      : A,B,C,費馬點。