[問題] 材料力學-內管徑和外管徑變化的問題

[lawrence0112 (Lawrence)]

各位好，

小弟有個力學問題想要請教各位，

先附上圖：http://imgur.com/jONfv7r

如上圖所示，將管子取一部分出來看，

管的內徑是ri；外徑是ro；

管內承受一壓力P，造成內徑的變化是delta ri；外徑變化是delta ro，

想請問該怎麼建立管內徑的變化和管外徑的變化的關係呢？

如果問題有描述不清楚的再煩請告訴我，感謝！

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Mechanical/M.1466055407.A.F60.html
推 YJM1106: 假設固體不具可壓縮性，delta ri導致的體積變化等於delta
→ YJM1106:  r0的體積變化
您好，那想請問一下，將固體假設為不具可壓縮性的條件是什麼呢？

我也有看到有Paper把跟我一樣的材料視為不可壓縮，但是我卻不知道為什麼可以這樣？

我有在網路上看到因為相較於氣體而言，固體的分子間距很小，比較不容易被壓縮，

所以當不可壓縮的假設條件下跟原實際結果的差距不大時，就可以這樣假設嗎？

是說我剛剛想到一個問題，不可壓縮材料不是代表變形前後體積固定嗎？那有代表delta ri會等於delta ro嗎？
推 hank850503: http://i.imgur.com/J5yy5Xd.jpg
→ hank850503: 根據樓上算的，跟直覺一樣XD
您好，想問一下為什麼您要針對內徑跟外徑做平方相減的動作呢？

還是只是為了要求出比例而這麼做而已嗎？


我自己後來有在一本彈性力學的書上看到以下例題：

http://imgur.com/upa62KS

題意感覺蠻符合我的問題的，

可是它的詳解就只有寫這樣，

我實在不懂m為什麼會等於它寫得那樣？

再麻煩各位厲害的大大幫我解答了，萬分感謝！

※ 編輯: lawrence0112 (58.115.190.208), 06/16/2016 23:34:12
※ 編輯: lawrence0112 (58.115.190.208), 06/17/2016 03:45:52
推 gbcowandy: 可以看一下你找到的圖片原題目嗎？
推 gbcowandy: 大概列了一下還蠻多式子的
→ gbcowandy: 需要回家確認應力應變公式，已忘記
原題目只有圖片中的文字敘述，並沒有圖片，所以只能單純從文字上去理解。
推 wgst88w: ?ri=ri'-ri   ?ro=ro'-ro，然後帶入原式，以相減求變化量
請問您這邊提到的原式是指？
推 gbcowandy: 找公式時發現了，你搜尋厚壁圓筒應力分析
→ gbcowandy: 應該有你要的答案
好的，我搜尋看看！
推 wgst88w: 不過我只贊成算式到 2‧ro‧?ro = 2‧ri‧?ri
有點看不懂您的意思，是否可以請您再詳述呢？感謝您！
推 gbcowandy: 要用徑向的力平衡去代入應變
→ gbcowandy: 然後有個力跟應變的轉換公式，就是乘上楊氏模數的
這邊指的是虎克定律嗎？E=stress/strain？
→ gbcowandy: 然後得到一個微分方程式
→ gbcowandy: 將邊界條件r=r時p=p帶入
我試試看，等等寫出來再貼上來給您看正不正確，不過這邊有點不理解為什麼會變成微方
※ 編輯: lawrence0112 (58.115.190.208), 06/17/2016 10:27:29
※ 編輯: lawrence0112 (58.115.190.208), 06/17/2016 10:38:53
推 gbcowandy: 你把圓管切成一小塊元素就會跑出來了
→ gbcowandy: 不是乘上楊氏模數這麼簡單
→ gbcowandy: 我記得圓管下應力應變是徑向跟切向的組合
→ gbcowandy: 因為切向的應力會影響徑向應變
推 gbcowandy:  http://i.imgur.com/466Ojqk.jpg
→ gbcowandy: 力平衡大概是這樣
→ gbcowandy: 取一小塊元素，最後把應力應變轉換公式帶入
→ gbcowandy: 就會變成微分方程式
→ lawrence0112: http://i.imgur.com/e0Um0E9.jpg
→ lawrence0112: 這是您說的應力應變轉換嗎？
→ gbcowandy: 類似這個，不過是圓座標的
疑，我貼的那個應該已經是極座標了？還是我誤會了？

是說，那這樣公式就跟我的內壓沒關係嗎？還是說Stress跟內壓有一定關係？

不好意思，問題比較多，再麻煩您了！
※ 編輯: lawrence0112 (58.115.190.208), 06/17/2016 11:56:31
我有照著您提供的關鍵字「厚壁圓筒應力分析」去做搜尋，

有找到跟您所提到的解法，可是解出來僅是應力，

其實那應該也就是厚管理論的推導過程，

只是這樣我要怎麼知道內外管徑的變化量的關係呢？
※ 編輯: lawrence0112 (58.115.190.208), 06/17/2016 12:02:18
推 gbcowandy: 兩個變化量相除不就有關係了
→ gbcowandy: 你做完力平衡後要推導應變
→ gbcowandy: 應變乘上楊氏模數等於應力
→ gbcowandy: 接著把邊界條件代入
推 gbcowandy: 你的公式是對的
→ gbcowandy: 得到應力再帶回去就有應變了
好的，謝謝您，我大概有個方向了！

今天有再去請教彈性力學的老師。
推 SCHLAGER: 隨便找一本彈性力學課本都有這個厚壁管的例題，這樣比
→ SCHLAGER: 較容易了解
確實有些彈力的課本有寫，後來我去請教彈力的老師，他推薦我找高等材力，

真的有比較詳細的推導過程！
→ YJM1106: 所以沒有我亂說的那麼簡單對吧
我覺得您說的也可以去做假設，

但是推導過程可能像二樓寫的那樣。
→ wgst88w: 不，是我這數學爛的被你釣出來，跟著在那裏挪移相消平方.
推 SCHLAGER: 如果這個P的值增大，開始產生塑性變形，相關討論就要去
→ SCHLAGER: 看塑性力學的書。
暫時應該只考慮到彈性變形的部分！

真的十分感謝各位的協助！
※ 編輯: lawrence0112 (140.117.59.210), 06/18/2016 01:53:36