[學術] 自動控制基本問題

[Augustus1996 (MARS奧古斯都)]

各位大大好
小弟我想請問一下
在課本討論steady state error的單元中
在analysis via input substitution的部分
只有推導出step input跟ramp input的Xss與e(無限大)的公式
可是沒有parabolic input的部分
在跟幾個同學討論的過程中出現兩種想法
一是Xss在n=1時=0.5t**2+Wt+const.
e(無限大)=lim(t**2-Yss) ※t趨近無限大
二是Xss在n=1時=0.5(t**2+Wt+const.)
e(無限大)=lim(t**2-Yss) ※t趨近無限大
請問哪個才是正確的
如果都錯也希望能得到正確的答案與相對應的e(無限大)的公式
謝謝各位大大！

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推 CGZB: e(無限)又稱static state error我會用頻域來考慮而不是時域
→ CGZB: 一個系統的transfer function 可以分成type0 type1 等等...
→ CGZB: 而區分這些type的方式是用有多少"單獨的s"在分母
→ CGZB: 若 open loop system 的 transfer funtion 為 G(s)
→ CGZB: Then transfer function for closed loop system will be
→ CGZB: output/ input = Y(s)/X(s) = G(s)/(1+G(s))
→ CGZB: 而error E(s) = input X(s)-Y(s) = X(s) * 1/(1+G(s))
→ CGZB: 而steady state error 被定義為 e(t->無限)
→ CGZB: 而微積分的final-value theorem 又告訴我們lim{e(t)}(t無限)
→ CGZB: = lim{E(s)}(s趨近0)，所以steady state error (ess) =
→ CGZB: lim{e(t)}(t->無限) = lim{sE(s)}(s->0)= lim{sX(s)/(1+G)}
→ CGZB: 如果今天X(s)是unit step input, 就可以將X(s)換成 1/s
→ CGZB: 換掉在進行約分以後 ess = lim{1/(1+G(s))}(s->0)
→ CGZB: 接著G(s) 是什麼type 的系統就很重要了
→ CGZB: 如果是type0,因為分母沒有s，G(0)就會是一個常數
→ CGZB: 依照前面的式子ess= lim{1/(1+G(0))} 你的ess也就會是個常數
→ CGZB: 如果是type1，分母有單獨的s，那G(0)就會趨近無限大
→ CGZB: ess= lim{1/(1+G(s))}就會變無窮小。type2,3..以上皆如此
→ CGZB: 當你的input X(s)是ramp input，X(s)=1/s^2
→ CGZB: 我們的steady state error = lim{1/s^2 * s/(1+G(s))} =
→ CGZB: lim{1/( s + sG(s) )} = lim{1/sG(s)} (s->0)
→ CGZB: 你會發現分母是sG(s)，多出來的s會讓ess趨近於無限大當s->0
→ CGZB: 如果G(s)是type0系統，那在G旁邊的s肯定消不掉 ess會->無限
→ CGZB: 若G(s)是type1系統則可以用G自己分母的s與之相消而得到常數
→ CGZB: type2以上的系統則會留下一個1/s在 ess 的分母 讓ess->0
→ CGZB: 接下來就是你所問沒有什麼被探討的二次parabolic input
→ CGZB: 我們直接查laplace表，可以得知二次時域方程在頻域為1/s^3
→ CGZB: 代入ess = X(s) * 1/(1+G(s)), ess = 1/(1+G(s)) * 1/s^2
→ CGZB: = 1/(s^2 + s^2G(s)) = 1/(s^2 * G(s)){s->0}
→ CGZB: 跟之前的流程相同，因為分母有s^2，G(s)至少必須為type2系統
→ CGZB: 才能讓error為常數，type3以上系統才能讓error趨近零
推 CGZB: 上面Final-value theorem(FVM)打錯，應為lim{e(t)](t->無限)
→ CGZB: =lim{"s"E(s)}(s->0)
喔喔 好！ 謝謝！
※ 編輯: Augustus1996 (27.52.10.97), 11/30/2017 14:09:43
推 ken16049: 太強了板上的高手
推 v5221142: 神人
推 rich288719: 簡單說系統不穩定就沒有穩態誤差