[試題] 103下 王振男 分析導論優二 第一次小考

[xavier13540 (柊 四千)]

課程名稱︰分析導論優二
課程性質︰數學系大二必修
課程教師︰王振男
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2015/03/10
考試時限（分鐘）：40

試題 :

                                    2
1. (10%) Let Ω be an open set in |R . Assume that (a, b) ∈ Ω and f: Ω → |R

         3
   is a C  function. Prove


       4    2π
 lim  ── ∫  f(a + r cosθ, b + r sinθ) cos(2θ) dθ = f  (a, b) - f  (a, b)
r→0     2  0                                              xx          yy
      πr

2. (10%) Define
                              α     2    2
                       ╭ |xy|  log(x  + y ), if (x, y) ≠ (0, 0),
             f(x, y) = ╯
                       ╰ 0,                  if (x, y) ＝ (0, 0),

   where α > 1/2. Is f differentiable at (0, 0)?

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                 2                         2    1                  ψxavier13540
給定一個二次元(|R )上的開集 G，設 f: G →|R ∈ C 。考慮一 autonomous system
╭dx/dt = f(x)，若 ∀t ≧ 0，有φ (x°) ∈ K ⊆ G，其中 K 在 G 上 compact，則
╰x(0) = x°                     t
ω(x°) 只能是一定點、一週期軌道或連接有限個 critical point 的連通路徑，不會像三
次元一樣可能出現混沌(chaos)。此即為 ODE 動力系統中的 Poincaré–Bendixson 定理。

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