[試題] 103下 王振男 分析導論優二 第二次小考

[xavier13540 (柊 四千)]

課程名稱︰分析導論優二
課程性質︰數學系大二必帶
課程教師︰王振男
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2015/03/17
考試時限（分鐘）：20

試題 :


1. (10%) Show that the continuity of Df at a point a is needed in the inverse

   function theorem (even for n = 1) by studying the example:

                                       2
                              ╭ x + 2x sin(1/x),  x≠0,
                       f(x) = ╯
                              ╰ 0,                x＝0.

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                 2                         2    1                  ψxavier13540
給定一個二次元(|R )上的開集 G，設 f: G →|R ∈ C 。考慮一 autonomous system
╭dx/dt = f(x)，若 ∀t ≧ 0，有φ (x°) ∈ K ⊆ G，其中 K 在 G 上 compact，則
╰x(0) = x°                     t
ω(x°) 只能是一定點、一週期軌道或連接有限個 critical point 的連通路徑，不會像三
次元一樣可能出現混沌(chaos)。此即為 ODE 動力系統中的 Poincaré–Bendixson 定理。

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