[試題] 103下 王振男 分析導論優二 第五次小考

[xavier13540 (柊 四千)]

課程名稱︰分析導論優二
課程性質︰數學系大二必修
課程教師︰王振男
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2015/04/21
考試時限（分鐘）：40

試題 :

                                   n
1. (10%) Let V be an open set of |R  and φ is a coordinates fransform in V.


   Then

                             Vol(φ(B (x )))
                                     r  0
                       lim  ──────── = |Δ (x )|.
                      r→0+   Vol(B (x ))        φ  0
                                   r  0
                              n            n
2. (10%) Given any set E of |R  and d ∈ |R . Define E  = {x+d: x∈E}. Show that
                                                      d

   |E |  = |E| , i.e., the outer measure is translation invariant.
     d e      e

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                 2                         2    1                  ψxavier13540
給定一個二次元(|R )上的開集 G，設 f: G →|R ∈ C 。考慮一 autonomous system
╭dx/dt = f(x)，若 ∀t ≧ 0，有φ (x°) ∈ K ⊆ G，其中 K 在 G 上 compact，則
╰x(0) = x°                     t
ω(x°) 只能是一定點、一週期軌道或連接有限個 critical point 的連通路徑，不會像三
次元一樣可能出現混沌(chaos)。此即為 ODE 動力系統中的 Poincaré–Bendixson 定理。

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