[試題] 103下 王振男 分析導論優二 第六次小考

[xavier13540 (柊 四千)]

課程名稱︰分析導論優二
課程性質︰數學系大二必修
課程教師︰王振男
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2015/04/28
考試時限（分鐘）：25

試題 :

                                        1
1. (10%) Is the set of irrationals in |R  a G   set?
                                             δ

2. (10%) Find the fallacy in the following proof of showing the set of

                                                        ∞
   rationals, Q, is a G   set. Let us enumerate Q = {q }   . Choose n ∈ |N and
                       δ                             k k=1
                        1       1
   define O  = ∪ (q  -─, q  +─). It is clear that O  is open. Next we observe
           n     k  k   n   k   n                     n
              1       1
   that (q  -─, q  +─) → {q } as n → ∞. Therefore, Q = ∩ O  and so Q is a
          k   n   k   n       k                               n n

   G   set.
    δ

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                 2                         2    1                  ψxavier13540
給定一個二次元(|R )上的開集 G，設 f: G →|R ∈ C 。考慮一 autonomous system
╭dx/dt = f(x)，若 ∀t ≧ 0，有φ (x°) ∈ K ⊆ G，其中 K 在 G 上 compact，則
╰x(0) = x°                     t
ω(x°) 只能是一定點、一週期軌道或連接有限個 critical point 的連通路徑，不會像三
次元一樣可能出現混沌(chaos)。此即為 ODE 動力系統中的 Poincaré–Bendixson 定理。

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