[試題] 103下 林太家 偏微分方程式二 Test3

[t0444564 (艾利歐)]

課程名稱︰偏微分方程式二
課程性質︰數學研究所基礎課
課程教師︰林太家
開課學院：理學院
開課系所︰數學系、數學研究所、應用數學科學研究所
考試日期︰2015年06月02日(二)，10:20-12:10
考試時限：110分鐘

試題 :
　　　　　　　　　　　　　　Test 3　　　　　　　　　　　　　　　　　　6/02/2015

1. 20%
　Assume U is connected. Use (a) energy methods and (b) the meaximum principle
　to show that the only smooth solution of the Neumann boundary-value problem
　　　　　　　　　　　　　　　/ -Δu    = 0 in U
　　　　　　　　　　　　　　　\ ∂u/∂n = 0 on ∂U
　are u≡constant.

2. 20%　　　　　　 1
　(20 pts) Let u∈H(B1) be a single-valued function, where B1 is the unit ball
　　　2 　　　　　 0
　in R with center at origin. Which of the following statements is (are) true?

　(A) There exists a positive constant C independent of u such that
　　　　　　　　　　　　　　　　 2　　　　　　　2
　　　　　　　　　　　　　　　∫u dx ≦ C ∫(u_r)dx.
　　　　　　　　　　　　　　　B1　　　　  B1
　(B) No such a constant C exists.

　Here (r,θ) is the polar corrdinate and u_r is the associated partial
　derivative. Find and justify your answer.


3. 20%
　Let
　　　　　　　　　　　　　　　　 n　 ij
　　　　　　　　　　　　　Lu = -Σ (a  u_xi)_xj + cu.
　　　　　　　　　　　　　　　 i,j=1
　Prove that there exists a constant μ > 0 such that the corresponding
　bilinear form B[,] satisfies the hypotheses of the Lax-Milgram Theorem,
　provided
　　　　　　　　　　　　　c(x) ≧ -μ　(x∈U).

4. 20%　　1　n
　Let u∈H (R ) have compact support and be a weak solution of the semilinear
　PDE　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　 n
　　　　　  2 n　　　　　　　-Δu + c(u) = f in R ,
　where f∈L(R ) and c:R→R is smooth, with c(0) = 0 and c'≧0.
　　　　　　2　n
　Prove u∈H (R ).

5. 20%　　　 1
　Assume u∈H (U) is abounded weak solution of
　　　　　　　　　　　　  n　 ij
　　　　　　　　　　　　-Σ (a  u_xi)_xj = 0 in U.
　　　　　　　　　　　　i,j=1
　Let ψ:R→R be convex and smooth, and set w = ψ(u). Show w is a weak
　subsolution; that is,
　　　　　　　1　　　　　　　　　B[w,v] ≦ 0
　for all v∈H (U), v≧0.
　　　　　　　0

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