[試題] 103下 王振男 分析導論優二 第八次小考

[xavier13540 (柊 四千)]

課程名稱︰分析導論優二
課程性質︰數學系大二必修
課程教師︰王振男
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2015/05/19
考試時限（分鐘）：35

試題 :


1. (a) (10%) Let {f } be a sequence of Lebesgue integrable function such that f
                   k                                                           k

       → f a.e. with f also integrable. Then ∫|f  - f| → 0 iff ∫|f | →
                                                  k                   k

       ∫|f|.


   (b) (10%) Let f be Lebesgue integrable over a measurable set E. Then for any


       ε > 0, there is a simple function φ such that ∫|f - φ| < ε.
                                                        E

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給定一個二次元(|R )上的開集 G，設 f: G →|R ∈ C 。考慮一 autonomous system
╭dx/dt = f(x)，若 ∀t ≧ 0，有φ (x°) ∈ K ⊆ G，其中 K 在 G 上 compact，則
╰x(0) = x°                     t
ω(x°) 只能是一定點、一週期軌道或連接有限個 critical point 的連通路徑，不會像三
次元一樣可能出現混沌(chaos)。此即為 ODE 動力系統中的 Poincaré–Bendixson 定理。

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