[試題] 103下 王振男 分析導論優二 第九次小考

[xavier13540 (柊 四千)]

課程名稱︰分析導論優二
課程性質︰數學系大二必修
課程教師︰王振男
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2015/06/02
考試時限（分鐘）：35

試題 :


1. (10%) Let (x, y) ∈ I = [-1, 1] ×[-1, 1] and

                                  xy
                           ╭ ─────, if (x, y) ≠ (0, 0),
                           │   2    2 2
                 f(x, y) = ╯ (x  + y )
                           │
                           ╰ 0, if (x, y) = (0, 0).


   Show that the iterated integrals of f over I are equal, but they are not


   equal to the integral of f over I. Does this contradict Fubini's theorem?

              γ
2. (10%) Let x  f(x) be integrable over (0, ∞) for γ = α and γ = β, where

                                                        ∞ γ
   α < β. Show that for each γ ∈ (α, β), F(γ) = ∫ x  f(x) dx exists and
                                                        0

   is a continuous function of γ.

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                 2                         2    1                  ψxavier13540
給定一個二次元(|R )上的開集 G，設 f: G →|R ∈ C 。考慮一 autonomous system
╭dx/dt = f(x)，若 ∀t ≧ 0，有φ (x°) ∈ K ⊆ G，其中 K 在 G 上 compact，則
╰x(0) = x°                     t
ω(x°) 只能是一定點、一週期軌道或連接有限個 critical point 的連通路徑，不會像三
次元一樣可能出現混沌(chaos)。此即為 ODE 動力系統中的 Poincaré–Bendixson 定理。

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