[試題] 103下 王振男 分析導論優二 第十次小考

[xavier13540 (柊 四千)]

課程名稱︰分析導論優二
課程性質︰數學系大二必修
課程教師︰王振男
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2015/06/09
考試時限（分鐘）：35

試題 :

                              2                 ∞    ikx      ∞    ikx
1. (10%) Assume that f, g ∈ L [0, 2π] and f ~ Σ c e   , g ~ Σ d e   . Show
                                                -∞ k          -∞ k

   that

                              1  2π ＿    ∞   ＿
                            ──∫  fgdx = Σ c d .
                             2π 0         -∞ k k

2. (10%) Assume that f has continuous derivative on [0, 2π], f(0) = f(2π), and

    2π
   ∫  f(t)dt = 0. Prove that
    0

                                ∥f∥ ≦ ∥f'∥,


   where the equality holds iff f(x) = a cos x + b sin x. Here the norm is the

    2
   L [0, 2π] norm. (Use Parseval's formula.)

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                 2                         2    1                  ψxavier13540
給定一個二次元(|R )上的開集 G，設 f: G →|R ∈ C 。考慮一 autonomous system
╭dx/dt = f(x)，若 ∀t ≧ 0，有φ (x°) ∈ K ⊆ G，其中 K 在 G 上 compact，則
╰x(0) = x°                     t
ω(x°) 只能是一定點、一週期軌道或連接有限個 critical point 的連通路徑，不會像三
次元一樣可能出現混沌(chaos)。此即為 ODE 動力系統中的 Poincaré–Bendixson 定理。

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