[試題] 108-2 余正道 線性代數二 第三次小考

[t0444564 (艾利歐)]

課程名稱︰線性代數二
課程性質︰數學系大一必修
課程教師︰余正道
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期︰2020年05月22日(五)
考試時限：11:20-11:50，共30分鐘

試題 :

[Quiz 3]　　　　　　　　Name:　　　　　　　　ID:

1. (8%) Solve the differential equation y'''+5y''+3y'-9y=0.

2. Let V be a vector space over a field (not necessarily finite-dimensional),
   and let T:V→V be a linear transformation. Let W⊆V be a T-invariant
   subspace. We have knwon that T induces the linear transformations
　 T| : W→W and T':V/W → V/W.
　　 W

　 (a) (6%) Show that if T|  and T' are isomorphisms, then T is an isomorphism.
　　　　　　　　　　　　　 W

　 (b) (8%) Conversely, suppose W is finite-dimensional, show that if T is an
　　　 isomorphism, then T|  and T' are isomorphisms.
　　　　　　　　　　　　　 W
3. (8%) Let A∈M (R) be a symmetric matrix with the eigenvalues λ1≧…≧λn.
　　　　　　　　n
　　　　　　　　　　　　 T
   Let  N∈M   (R) with N N = I  and μ1≧…≧μm be the eigenvalues of the
　　　　　　n×m                m
　　　　　 T
   matrix N AN. Show that μi≧λi≧μ      for all i=1,...,n.
                                      m-n+i

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→ t0444564    : 最後一題的不等號應更正為
→ t0444564    : λi≧μi≧λ_(n-m+i) for all i=1,...,m.