Re: [聊天] 試算200天井實裝後 期望抽數的改變

[arrenwu (不是綿芽的錯)]

※ 引述《phoenix286 (糰子大家族)》之銘言：
: 本來也想算碎片抽的機率分布...
: 但是獎勵碎片有五種結果(0,1,5,20,40) 就不是簡單的二項分布了
: 有人知道要怎麼算嗎?
:
: 推 smart0eddie: 不是啊 你可以算出每抽碎片期望值 這樣就能算抽數了?  03/26 00:32
: 這裡分兩種層面來看
: 1. 單純看碎片抽的期望抽數
: 簡單的估算是 期望抽數 = 145/每抽期望碎片
: 但是直接相除 好像還少考慮了什麼
你們的直覺其實是對的，真的要說少的話，只是少引了一個定理
Elementary renewal theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Renewal_theory#Elementary_renewal_theorem

不過我想這個也不是我們感興趣的結果。
大家比較感興趣的是下面這個復刻池的期望抽數

: 2. 整個復刻池的期望抽數
: 這個需要結合兩個相依的機率分布 又更麻煩了
: → mathtsai: 回樓上 你要算上 抽or鍊成 這個要手算也太困難           03/26 00:35


現在的問題：如果我想把我老婆聖誕克莉絲從這次復刻池抽出來，
            需要抽數的期望值是多少？

喔對了，這是個假設性問題。因為去年我婆卡池一開我就把她抽出來了

復刻池可以看成兩種獨立的池 (1) 抽人的池 (2) 抽碎片的池

抽人的池拿邊很簡單，跟一般PU池差不多，只是機率變成 p = 0.00175

碎片這邊比較複雜，先讓我們看有碎片的獎項：

獎項    碎片    機率
一等獎  40      p1 = 0.005
二等獎  20      p2 = 0.01
三等獎   5      p3 = 0.05
四等獎   1      p4 = 0.10

好，然後呢，讓我們定義兩個隨機變數 X,Y：

        X = 抽人的池，抽出克莉絲需要的抽數
        Y = 抽碎片的池，抽到的碎片量達到145的抽數

最後呢，定義復刻池抽出克莉絲需要的抽數 Z：

        Z = min(X,Y)

反正就是哪個池先達到弄出一個克莉絲，就是我們需要的抽數

而上面那個問題其實就是在問 E[Z]

這邊呢，我跟大家介紹一個計算非負整數隨機變數期望值的公式
               ∞
        E[Z] = Σ  P(Z > n)
               n=0
這個很方便喔 算這種抽抽問題也滿實用

然後呢：
        P(Z > n) = P(min(X,Y) > n)

                 = P( X > n and Y > n)

                 = P(X > n) P( Y > n ) (抽人池和抽碎片池是獨立池)

X部分很好算，而且只有 n<300 的時候大於零 ：
P(X > n) =  (1-p)^n       n = 0~299
         =  0             otherwise

所以：

       ∞
E[Z] = Σ  P(Z > n)
       n=0
       ∞
     = Σ  P(X > n) P(Y > n)
       n=0

       299 <----- 不用算到無窮囉 耶!
     = Σ  (1-p)^n P(Y > n)
       n=0

那 P(Y > n) 是多少呢？

我們定義四個隨機變數 N1(n),N2(n),N4(n),N4(n)：
        N1(n): 抽碎片池的前n抽中，一等獎的個數
        N2(n): 抽碎片池的前n抽中，二等獎的個數
        N3(n): 抽碎片池的前n抽中，三等獎的個數
        N4(n): 抽碎片池的前n抽中，四等獎的個數

P(Y>n) = P(碎片池前n抽碎片量不足以合成克莉絲)

       = P( 40*N1(n)+20*N2(n)+5*N3(n)+1*N4(n) ≦ 144 )

我想板上佑樹普遍水準應該都不錯，下面這個自己應該算得出來

For any non-negative k1,k2,k3,k4 and k1+k2+k3+k4 <= n

P( N1(n)=k1, N2(n)=k2, N3(n)=k3 , N4(n)=k4)

= n!/(k1!k2!k3!k4!(n-k1-k2-k3-k4)!) *
        p1^k1 p2^k2 p3^k3 p4^k4 (1-p1-p2-p3-p4)^(n-k1-k2-k3-k4)

而 P( 40*N1(n)+20*N2(n)+10*N3(n)+1*N4(n) ≦ 144 )

=      Σ  P(N1(n)=k1, N2(n)=k2, N3(n)=k3 , N4(n)=k4)
  (k1,k2,k3,k4) in A(n)

where A(n) = {(k1,k2,k3,k4) | k1,k2,k3,k4 >=0, k1+k2+k3+k4 <= n,
                              40*k1+20*k2+5*k3+1*k4 ≦ 144 }

所以這樣就可以算 E[Z] 了

我算出來是 E[Z] = 167.62

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推 c871111116: 恩恩 跟我想的差不多  就是這樣吧
推 fisheryu0514: 恩，我也這麼認為
推 JeffMnO4: 那就記168，公主連結一路發！
推 skbb2553: 不對啊 聖誕克總不能碎片合成
推 CorkiN: 嗯嗯跟我想的一樣
→ OscarShih: 我不是早就這樣子說了嗎
推 skbb2553: 不過Re0復刻角就可以這樣算了
推 frank79618: 我沒走錯版吧XD
推 passioncraig: 嗯嗯跟我想的一樣
推 v800982004: 我的答案跟小當家一樣
推 chun47: 嗯嗯 差不多就是這樣
推 pq5346929: 跟我想的一樣
推 gn005066: 恩恩
推 phoenix286: 三等獎是五片 應該是5×N3
你說得沒錯 我程式裡面寫對 上面打錯
推 smart0eddie: 嗯嗯跟我想的一樣
推 pearnidca: https://i.imgur.com/siFBtTD.jpg
推 sky79717: 嗯嗯嗯 就是這樣
推 g9591410: 大哥 我是文組 看無= =
推 phoenix286: P(min(X,Y) > n) P( X > n and Y > n)
→ phoenix286: 這行推導沒看懂 能解釋一下嗎？
→ phoenix286: P(min(X,Y) > n) = P( X > n and Y > n)
min(X,Y) 這個量就是取 X,Y 中比較小的值
所以 min(X,Y) > n 就等同於在說 X,Y 都大於 n
推 globalspirit: 嗯，跟我想得一樣
推 aegis91086: 感謝解析
推 v86861062: 奇怪的知識增加了
推 qaz0503: 你講的我都知道，可是我每次都保底是什麼回事
推 roc074: 原來如此，嗯嗯！
→ whiwhiwhi: 你算了這麼多  可是聖誕克總不能合成耶(X
推 reaturn: 日版不能合啊 XD
→ whiwhiwhi: 台版也不能啊
→ whiwhiwhi: 我說聖誕克總(X
喔 我其實不知道哪些可以哪些不行XD 不能碎片合成的話其實就跟一般PU池類似
→ whiwhiwhi: 台版就到泳真步 從萬華開始就不行
推 dustlike: 可是瑞凡 你婆已經不能人體鍊成惹
推 cjacky1026: 跟我想的一樣呢
推 mathtsai: 用程式跑就好惹
→ mathtsai: 而且程式跑出來和你算的不一樣@@
我用蒙地卡羅跑出來的結果跟上面一樣喔

import random
from numba import njit, prange
p  = 0.00175;
p1 = 0.005;
p2 = 0.01;
p3 = 0.05;
p4 = 0.1;

P1 = 0 + p1;
P2 = P1 + p2;
P3 = P2 + p3;
P4 = P3 + p4;

@njit(parallel=True)
def montecarlo(nSample):
    result = np.zeros(nSample);
    for i in prange(nSample):
        nDraw = 0;
        nShard = 0;
        while (nDraw < 300):
            nDraw +=1;

            if (random.random()<p):
                break

            pN = random.random();
            if (pN < P1):
                nShard += 40;
            elif (pN<P2):
                nShard += 20;
            elif (pN<P3):
                nShard += 5;
            elif (pN < P4):
                nShard += 1;

            if (nShard >= 145):
                break
        result[i] =  nDraw;
    return result

N = 10000000

print(sum(montecarlo(N))/N)
推 andrewhanks: 我到底看了三...
推 OppOops: 定義的部分寫成"花費"的抽數好像比較容易懂
→ OppOops: 因為抽可以無限次, > n 的時候停下來, 事實上是反著加總
推 JJJZZs: 算錯了 你沒算到我是非洲人這個參數
→ whiwhiwhi: 對我來說只是300變200而已
推 xkiller1900: 學術論壇
推 shin30: 恩恩 跟我算得差不多
推 SatoTakeru: 公主連結是一款真正的數學遊戲
推 js850604: 你有考慮血統這個參數嗎
推 louis82828: 嗯嗯 跟我驗算的結果一樣
推 wfleowang: 這篇讓我想到以前修機率的時光......
→ schula: 果然還是要做有興趣的事情才會比較有趣啊lol
推 r901700216: 除了供殺小 我不知道要講什麼
推 mathtsai: 寫法差不多 但是我是用C++
→ mathtsai: 不過算出來怎麼差這麼多@@
→ mathtsai: 上一篇h大也算出和我一樣的答案
→ harryron9: 他這個結果對的啊 0.0175 天井300
→ harryron9:            0.00175
推 Incredible99: 跟我算的一樣啊
推 mathtsai: 喔喔 他p取0.0175 那應該沒錯了XDD
→ mathtsai: 我改參數之後得到167.08 原po計算應該無誤
推 SuperSg: 嗯嗯嗯，我的意思就是這樣
推 nutta: 喔喔對耶就是這樣
推 Lupin97: 你忘了遊戲裡的佑樹是失智仔，而我現在也差不多=.=
→ OscarShih: 讀書有那麼認真就好惹 (
→ felixr0123: 賺賺賺
推 epidemic000: 嗯嗯 就跟我想的一樣
推 phoenix286: 你這個算出來是理論值嗎？還是抽樣結果?（不大懂蒙地
→ phoenix286: 卡羅
這篇文章打的是理論值呀

萌帝卡蘿是模擬。我的code就貼在下面推文那邊
推 tw15: 我本來也是跟你想的一樣 但是我現在失智了大概你說得沒錯
推 phoenix286: 我是說那個167.62
那個是理論值啊 就上面文章寫的方式算出來的
※ 編輯: arrenwu (98.234.190.206 美國), 03/27/2021 03:59:39
→ HYDE1986: 嗯嗯 跟我算的一樣
推 Sechslee: 好 看不懂
推 jasonwung: 嗯嗯  原來如此
→ ilovedaodao: 我覺得抽就對了，算這麼多結果還是保底結果旁邊朋友
→ ilovedaodao: 10抽中會吐血
推 kevin030899: 怎麼感覺以後可能在某間學校的期中考看到XD
推 ikusou174: 不錯給推