Re: [聊天] 200天井的抽數分布

[arrenwu (不是綿芽的錯)]

※ 引述《mathtsai (mathtsai)》之銘言：
: 推 JARVIS00: 什麼時候才有新池抽                                    08/23 16:41
: 推 WuhanWinnie: 期望是107.8抽  用算的即可                          08/23 16:45
: → gohomexx: @WuhanWinnie 可否指點一下計算的公式?                  08/23 16:46
: 推 dustlike: 期望值的定義呀，各項結果乘以其機率                    08/23 16:53
: 推 crazy60p: 可能是不知道機率函數長怎樣吧, 去找 負二項式分佈 看看  08/23 16:58
: 推 WuhanWinnie: 手邊沒電腦只放連結                                 08/23 17:03
: → WuhanWinnie: https://www.ptt.cc/bbs/PCReDive/M.1616676029.A.    08/23 17:03
: → WuhanWinnie: 293.html                                           08/23 17:03
: → WuhanWinnie: 算出第幾抽會抽到的機率                             08/23 17:05
: → WuhanWinnie: 1~200每個都相加即可                                08/23 17:05
: 推 gohomexx: 謝謝                                                  08/23 17:11
: → charlie1667: http://i.imgur.com/YW5BtpO.jpg                     08/23 18:40
: 這寫法滿猛的耶 沒想到w
: 推 crazy60p: 該取 200 抽還是 199 抽是個可以討論定義的問題... 因為  08/23 19:05
: → crazy60p: 第 200 抽綑綁了天井交換                               08/23 19:05
: → charlie1667: 沒必要用199去算 1~200+201後跟1~199+200後是一樣的   08/23 19:54
: 推 shizuQ: 推出來真的和charlie1667的公式一樣，不知有沒有較為直覺   08/23 22:53
: → shizuQ: 的理解方式？                                            08/23 22:53

一個離散隨機變數 X 如果不會小於零，那 X 的期望值有一個特別的算法

       ∞
E[X] = Σ P(X > n)
       n=0

這個算法在這類抽取實驗的觀測相當方便


在公主連結的卡池這個案例裡面，我們的隨機變數X就是「抽到角色所需要的次數」
為了方便討論，我用 p = 0.007 作為單抽出獎的機率

那接著就是要考慮怎麼去算 P(X > n) 了

首先，所謂的 P(X > n) 就是 抽了 n 次沒有抽到角色 的機率

1. 我想聰明的大家很快就可以發現，當 n>=200的時候， P(X>n) = 0
為什麼呢？因為現在200次就會天井，所以不會發生你抽了200以上卻沒有抽到角色的事件

2. 那 n = [0, ... ,199] 呢？
在沒有觸發天井的時候，抽了n次沒有超到角色的機率顯然就是 (1-p)^n


綜合 1.,2.，

P(X > n) = (1-p)^n           , 0<= n < 200
              0              , n >= 200

現在套用最上面的公式

       ∞
E[X] = Σ P(X > n)
       n=0

       199
     = Σ  (1-p)^n
       n=0

     = 1/p * (1 - (1-p)^200)    (等比級數)

這樣算起來還挺方便的


對了，如果 X 不是離散的隨機變數而是連續的隨機變數，
也有個類似的算法，

        ∞
E[X] = ∫ P(X > t) dt
        0

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早川秋看到的未來
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 98.45.135.233 (美國)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/PCReDive/M.1629739528.A.981.html
推 JARVIS00: 公連是一款真正的數學遊戲
推 gohomexx: 抽角學數學
推 mathtsai: 棉芽最棒!
https://twitter.com/mukking/status/1422622739966222342/photo/1
https://pbs.twimg.com/media/E74rs6WVUAE7gtO.jpg
推 smart0eddie: oAo
推 cola540112: 原來如此 跟我想的一樣嘛
推 shizuQ: 跪了，雖然有看過這種算法，我也無法直接想到拿來套用
欸 那～就，以後看到 "非負"隨機變數 記得先試試看這做法XD
※ 編輯: arrenwu (98.45.135.233 美國), 08/25/2021 00:40:14