Re: [閒聊] 為什麼版上幾乎沒有討論非線性?

[paperbattle (?)]

※ 引述《peter308 (pete)》之銘言：
:  我覺得非線性是非常有用的一門課
:  裡面的數學很簡單 大學生甚至高中生就會
:  可是可以應用的領域五花八門
:  從訊號 工程 生物 經濟 社交 化學 雷射 半導體 電漿 統計物理 相變 重整化群
:  等等都有
:  可是怎麼感覺版上很少人討論?
:  是因為太簡單了嗎??
:  雖然數學很簡單 但我覺得怎麼去建構模型出來才是最有挑戰性的
:  有人也對非線性有心得的嗎??

我來講一下的感覺

我心中的物理如果只用一句話說  就是寫出合理的(微分)方程  然後找出解


在大學時  大家都修了電磁學

一定都用過分離變數(separation of variable)去解裡面有Laplacian的微方



舉例來說

Heat equation (說來慚愧我大學念物理時從來沒去算這東西  反而是念數學有)

   u' - △u = 0, u = u(x,t),    x in R^n, t>0

   u(x,0) = u0(x)

這東西有存在且唯一解

而且是initial data u0(x)對fundamental solution的convolution

可以直接代進去

或是用分離變數u(x,t)=v(x)w(t) 都可以作


但是  很重要  但是  如果u0(x) >0 的話  則在所有 t>0, u(x,t)>0 for all x

代表heat propogation的速度是無限大  所以這個模型有瑕疵...

但是你又不能拿相對論進來算  (可能有這種方法  請指正)


所以一個改法就是用power law

改成

    u' - △(u^m) = 0, m = 1+ 一個小小正數 >1 其他條件不變

則算出來的東西會比較接近實際情形


但現在方程式變成非線性以後

separation of variable 不能用  不能用  不能用

很重要講三次

光是不能用分離變數這點  大學等級的物理跟數學就死光光了

但我們想不想求解?  想阿...有沒有人在解...有阿  用我看不懂的東西


數值解的話

我知道一般的heat equation可以用有限元素法(finite element method)解

非線性  抱歉我連energy norm都不知道怎麼定義...更別談數值解會不會收斂到真正的解

(連有沒有解都不知道  會不會收斂  會不會收斂到錯的解  要花多久來解  都是問題)



非線性方程式很重要  像是Navier-Stokes equation

也很多人在用

但是為什麼不教給大學生

因為  太  難  了

先把線性的學好有點感覺後再去處理這種問題吧



我感覺你是來( ′﹀‵)／︴<>< <><   ><> ><>  的

不過非線性確實重要  也該有點討論  所以大家被釣一下也無妨

--
http://i.imgur.com/7edKGRL.jpg

Sent from my imouto

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 71.236.38.2
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1429639686.A.365.html
※ 編輯: paperbattle (71.236.38.2), 04/22/2015 02:16:39
→ sukeda: 不只如此 非線性微分方程也不能FT或LT來解
推 sukeda: Diffusion eq. 雖然好解 但真的不會在大學四大力學遇到
→ sukeda: 也是在非平衡統力才正式接觸
→ noonee: 我一直有個問題 非微擾要怎麼解？
推 recorriendo: http://www.springer.com/us/book/9780387001777
→ recorriendo: 請看這本書 很詳盡了
推 peter308: 強烈建議大學部應該在應數課裡面加入非線性的節數
→ peter308: 而且不要總時數不要低於整學年1/3 非線性太重要了
推 Entropy1988: heat propogation的速度是無限大是什麼意思？
我初始條件沒寫清楚  u0(x)要compactly supported,
假設我們考慮R^1, u0(x)只有在[0,1]上不為0的話  得出來的u(x,t)
只要t>0 u(x,t)就會>0   比如說u(100000km, 0.00001 second) 也>0

可是u(100000km, 0 sec) =0, 所以代表0.00001秒裡面 十萬公里外的點就有反應
同理你想取多大就多大   這當然在現實中不成立
※ 編輯: paperbattle (71.236.38.2), 04/22/2015 11:24:59
推 Entropy1988: 懂了。模型都要看適用尺度吧。
→ Entropy1988: 你是遇到非把非線性項引進來的狀況嗎？
我只是舉個數學上的例子而已
※ 編輯: paperbattle (71.236.38.2), 04/22/2015 12:05:07
推 rex0707: 我系上大三熱傳學就有用有限差分解熱傳方程式 要寫程式
→ wohtp: heat equation其實就是free particle Shroedinger eq
→ wohtp: dispersion relation 是 w ~ k^2，波的速度沒有上限
→ wohtp: 所以要是初始條件裡面存在 k --> infty，無限遠處也會在瞬
→ wohtp: 間有反應
→ wohtp: 所以這個的確是尺度問題，雖然你放個top hat進去數學上是可
→ wohtp: 以解，但是物理上你已經把這個熱傳模型玩壞了
→ wohtp: 咦，heat eq 和 Shroedinger eq 其實好像差了一個 i...
→ wohtp: 啊沒差啦，把我第一句話改成Shroedinger eq in imaginary
→ wohtp: time就可以了，結論還是一樣 XD
→ sputtering:  偏微分方程解法不一定要分離變數還是有很多的解法
→ sputtering: 解析解
推 sputtering: 比如說可以用雙變數傅立葉變換降成單變數傅立葉變換
推 peterqlin: 推最後一段
→ caseypie: 也可以用重整化群解，雖然只能知道一些特徵量
推 jack7775kimo: 例子一的heat equation要加條件才能"唯一"喔
→ jack7775kimo: cf: Folland, Intro. to P.D.E.s(1995) pp.144-145
推 physicslover: 純推簽名檔(?)
推 chihshanfang: 推簽名檔
推 sputtering: 推簽名檔+1
推 HDT: 這告訴我們 選錯簽名檔無論內文多麼認真都沒用
推 peter308: 簽名黨老實說我看不懂  不就馬卡龍?
→ Entropy1988: 你真的有imouto嗎
推 HDT: 假妹控