Re: [問題] 兩題轉學考題

[Philethan (PE)]

※ 引述《simon860730 (water)》之銘言：
: ╭────────────── 提醒：版規第三條 ─────────────╮
: │與作業、報告或課本習題有關的發問文，需於內文註明題目出處、思考脈絡和解題│
: │瓶頸。問題獲得回答後也勿任意刪除文章，並適度的向回答者表達感謝之意。    │
: ╰──────────────────────────閱讀後可用ctrl+y刪除╯
: 【出處】台聯大103年轉學考
: 【題目】(題目的文字敘述，如有圖片亦要提供圖片)
: http://i.imgur.com/ELkq31l.jpg
: 【瓶頸】(解題瓶頸或思考脈絡，請盡量詳述以利回答者知道要從何處講解指導)
: 代朋友問的，這一項就不知道了
: (她解題沒想法吧)
: 抱歉啊，麻煩版上的大大了

第四題：

畫個力圖，木棍重心受重力，固定點（pivot）受一支撐力。以pivot為參考點，假設
目前木棍位於固定點右方，列出牛頓定律的轉動版本：

        τ= -mgd sinθ = Iα = Iθ"

由於它作小角度震盪，所以當我們將sinθ以其泰勒級數展開時，可發現它能近似為θ：

          sinθ ~ θ

因此，可得 -mg θ = Iθ"，透過常係數微分方程的概念，我們可推得

         θ(t) = Acos(ωt) + Bsin(ωt)，其中 ω = √(mgd/I)

由於 θ(t) = θ(t + T)，找T最小值，即為週期，所以

         T = 2π√(I/mgd)

接著，當木棍以其質心自轉時，其轉動慣量為 (ML^2)/12，而當它繞「離質心距離d
的支點」旋轉時，根據平行軸定理，其轉動慣量為：

         I = (ML^2)/12 + Md^2

因此，若要使T為最小值，那麼根號內的(I/mgd)必須為最小：



              ML^2
           --------- + Md^2
               12
        ------------------------
                   Mgd

觀察分子與分母的關係，不難發現可由算幾不等式找到最小值。而此最小值發生於

        (ML^2)/12 = Md^2

的時候，所以，d = L/√(12)



第五題：

當物體作等速率圓周運動時，根據牛頓定律與運動學結論，下式必成立：

         繩張力 (T) = 2Mg = Mv^2/R

將一木塊拿掉後，繩張力減半，不考慮這兩穩態之間的變化過程，反正當穩定時，
下式也成立：

         繩張力 (T') = Mg = Mv^2/R'

因此，R'=2R，不過這是錯的。因為它對桌子圓心的角動量守恆（繩張力為向心力），
所以速率會改變： RMv = R'Mv'，因此後來的速率要改為v'，而不再是v。

         繩張力 (T') = Mg = Mv'^2/R'

最後，經過整理化簡，就可以得出 R' = 2^(1/3)R

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 101.13.177.43
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1436512706.A.126.html
推 simon860730: 第五題懂了，感恩
→ simon860730: 第四題理解中...
推 simon860730: ω = √(mgd/I)→這個怎麼出來的
考慮一函數，y = sin(2x)，y' = 2cos(2x), y" = -4sin(2x) = -4y

三角函數的特性就是，y" = -ky，它的二次微分會是原本函數的倍數。

因此，當我們看到 θ" = -(Mgd/I)θ 時，自然會「猜」它應是由三角函數疊合的函數。

觀察最初的例子，如果 -(Mgd/I) = -4，那當然會覺得 sin(2t) 應該是它的解，所以

我們認為 θ(t) = A cos[√(Mgd/I) * t] + B sin[√(Mgd/I) *t]

詳細內容請參考大一微積分最後一章...
※ 編輯: Philethan (101.13.177.43), 07/10/2015 17:39:59
推 simon860730: 感謝P大詳細回覆
→ wohtp: 其實有解析解的微分方程式也就那幾個，就當作是我們都背熟
→ wohtp: 了唄