Re: [問題] 一個想像重力問題

[wohtp (會喵喵叫的大叔)]

...其實這題應該只是想考兩個負質量的物體會有怎樣的牛頓引力啦。
答案是同性相吸。



要認真討論的話，首先必須做兩個假設：

 1. 「水」不是真的水，尤其必須百分之百完完全全不可壓縮。
    不然你就等著看重力塌陷把題目玩壞。

 2. 請把相對論暫時忘記，我們只討論牛頓引力。
　　會動的時空超級麻煩的啦。



那麼我們來看重力位能。因為位能是質量的線性函數，所以我們可以把系統
拆開成三個部分，然後再兩兩相加：

 a) 背景的水，均勻密度，充滿整個空間
 b) 氣泡之一，相當於一個負密度的球
 c) 氣泡之二，同上

然後位能函數就是那個 -G m1 m2/r 對兩個質量分布積分。


總重力位能可以分成六個部分：

 Ua, Ub, Uc: a, b, c 對自己作用的位能

 Uab, Uac, Ubc: 各部份的交互作用



Ua：
負無限大。但反正是個常數，掃到地毯下面看不到就可以了。


Ub, Uc：
均勻球體的 1/r self-energy，大家電磁學都做過吧？
也是負的常數，雖然不是無限大，照樣掃到地毯底下。


Uab, Uac：
正無限大，仍然是常數，仍然一起忽視。


Ubc：
這是唯一一項跟氣泡距離有關係的。
兩個氣泡都是負質量，所以位能跟兩個正直量其實是一樣的。
負的，距離越遠越接近零。





總之就是氣泡會相吸。

不過你要是真的做實驗發現氣泡相吸，你多半是看到水的表面張力...

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推 Landau: 推認真文，及最後一句XD
推 Entropy1988: 原來如此
→ Entropy1988: 不過還是有點奇怪 充滿了整個空間的正密度到底會產生
→ Entropy1988: 什麼場？
Cosmological constant.

→ Entropy1988: 或是說ΔUab,ΔUac真的是0嗎？
是零啊。因為位能函數有translational invariance，
位能不可能受單一氣泡的位置影響。

→ woieyufan: 所以是不是 對於其中一個氣泡A來說 有氣泡B的那邊水比
→ woieyufan: 較少 因為另一邊是無限的水
※ 編輯: wohtp (103.1.70.251), 07/18/2015 00:57:11
※ 編輯: wohtp (103.1.70.251), 07/18/2015 00:57:58
推 comeandgo: 想請問，氣泡的移動不也代表水的移動嗎？  為什麼自己
→ comeandgo: 的位能沒有因此改變呢？
因為每個地方都一模一樣啊。

首先，我們愛怎麼畫座標軸是我們的事，不應該影響交互作用位能，這點你可以同意吧？
而一顆氣泡的位置在(0,0,0)和(1,0,0)有什麼差別？只差了座標軸平移。

這個系統裡面真正有意義，不會因為我們換個座標軸畫法就跟著改變的物理量，
只有兩個氣泡之間的距離。

※ 編輯: wohtp (103.1.70.196), 07/19/2015 23:38:35
※ 編輯: wohtp (103.1.70.196), 07/19/2015 23:55:11
推 comeandgo: 請問這樣的是否沒有考慮邊界的問題呢？  應該可以透過
→ comeandgo: 移動水讓整體的質量更"集中"  進而改變自身位能吧  抱
→ comeandgo: 歉描述的不是很具體
→ wohtp: 的確是沒有。我假設空間是整個R3，要不然什麼沒有邊界的有
→ wohtp: 限manifold也可以。
推 comeandgo: 這樣我就了解了 感謝