[問題] 量物-Normalization附帶的假設？

[Philethan (PE)]

【出處】(習題或問題的出處)

證明 Ehrenfest's theorem 時想到的問題，現在在讀 Griffiths 的書

【題目】(題目的文字敘述，如有圖片亦可提供圖片)

Calculate d〈p〉/dt

【瓶頸】

問題一：

http://i.imgur.com/hmDnK4N.jpg

根據網路上的解答，http://goo.gl/F0tlDI，我發現必須假設（？）

                           ∂Ψ
                limit     ------  = 0
               x -> inf    ∂x

才能用按照我的思路推出 Ehrenfest's Theorem，有辦法用數學證明上式必然成立嗎？





問題二：

這也讓我想到 Griffiths 在前面提到的

「But Ψ(x,t) must go to zero as x goes to (+-) infinity - otherwise the
  wave function would not be normalizable.」

它藉由這點證明 Schrodinger Equation 可以保有正則化—normaltization is indep.
of time—的性質。Griffiths 在附註提到「A good mathematician can supply you
with pathological counterexamples, but they do not arise in physics」，我
就姑且稱這為「物理學家的直覺」吧。

他的附註說「存在著數學上的反例」，但在原文中又提到「否則波函數將無法正則化」，
所以他的意思是不是，其實數學上可以找到一反例使得「正則化仍然成立」，只是我們
這些物理學家不太能接受？因為違反某些物理直覺之類的。




問題三：

我有在 PhyiscsForum 找到同樣問題的討論：https://goo.gl/3MKbzA

前面幾個回覆都看得懂，總之就是數學上存在著反例，但原PO於最後的回覆讓我不解..

「... I just realized that from the time independent Schrodinger equation,
  if we require the potential energy to be bounded at infinity, then 

   2      2
  ∂Ψ/∂x must approach 0 as x approaches infinity if the original function ψ

  behaves that way.

  Then, by mathematical arguments involving the mean value theorem, I believe
  that implies ∂Ψ/∂x approaches zero as x approaches infinity also.」

該如何得知「若位能為有界，則波函數二次導數於X趨近無限大時，必趨近零」？
後面提的「根據均值定理，我相信波函數一次導數於X趨近無限大時，必趨近於零」又
是為什麼呢Orz



感謝你讀完我的問題!!




（偷問一下，有人有Carter解答嗎QAQ）
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我的想法：http://www.ethanideas.url.tw

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 101.14.201.156
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1441768650.A.4C2.html
※ 編輯: Philethan (101.14.201.156), 09/09/2015 11:24:25
推 jameskey: 我知道妳了，你是那個要讀哲學所的物理系學生，我覺得
→ jameskey: 你問的問題，我還蠻有興趣，怎麼刪文了ob'_'ov
嗯...嗨你好，這個嘛，因為我還滿玻璃心的QQ（我知道這麼說會很怪，不過應該可解釋）
我想你應該可以想像，我的目標不僅在台灣不是主流（少＄），在物理學界也不是主流。
因此，一路走來已經聽太多質疑我的「毅力」、「決心」、「實力」等等的聲音，老實
說我滿厭倦的了。上次PO文後，當然會有好心網友提醒我這是很困難很少人做等等的..，
但每當我一直跟不同人重複解釋「是的，我明白，因為如何如何，所以我深信我有決心
與勇氣」時，我就覺得很沮喪。真正要問的東西沒有人回答，但倒是被潑了不少自稱為
「關心建議」的冷水，所以我說我玻璃心:P 嗯...
推 j0958322080: carter很簡單所以好像很少人有解答
是哦@@
推 HAL10000: 正ㄧ大大欸
嗨你好@@
→ recorriendo: 薛丁格方程 Ψ''=(E-V)Ψ -> 0
啊對喔，我忘記這點了XD 我還不熟悉非時變薛丁格方程式分離變數後的相關討論，
感謝指點！！
推 wtfmap: wave function是 square-integrable 要代表有物理意義
→ wtfmap: 的particle 它必須go to zero at +-inf.
我在文中提的 PhysicsForum 討論串有提到一個 square-integrable 但當 x->inf，極限
不存在的例子：

Ψ(x) = 1 for x in [n, n+1/n^2]
Ψ(x) = 0 elsewhere

如果物理意義指的是滿足 square-integrable，那麼這是有物理意義的。
如果物理意義指的是滿足我們這些物理人的直觀、想像與洞察，那可能沒物理意義？..

→ recorriendo: 數學上可證: 如果lim(x->oo)dΨ/dx存在則其=0
→ recorriendo: http://math.stackexchange.com/questions/42276/
WOW 反證法的邏輯解釋！
另外就是，該如何證明「若 lim(x->oo)∂Ψ/∂x存在，則 lim(x->oo)∂Ψ/∂x=0」？
→ recorriendo: 反例就是: lim(x->oo)dΨ/dx可能不存在 就算在Ψ squ
→ recorriendo: are-integrable的條件下
嗯，所以.......okay，目前我想談的是極限存在的情況XD 有相關文獻嗎？
不好意思，雖然這可以自己查，不過現在有點忙碌...題目還沒寫完QAQ 非常謝謝你！！
※ 編輯: Philethan (101.14.201.156), 09/09/2015 15:01:07
→ recorriendo: Ψ=sin(x^2)/√(1+x^2) 這是square-integrable,連續,
→ recorriendo: 有界 可是dΨ/dx在x->oo時做不衰減震盪(極限不存在)
→ recorriendo: 這個Ψ是物理上無法接受的情況嗎? 至於Ehrenfest定理
→ recorriendo: 怎麼半 我也不知道XD 交給其他物理專家了
→ Philethan: 囧XD 謝謝你啦!!
→ recorriendo: 那個stackexchange連結裡就有"若lim(x->oo)Ψ'存在則
→ recorriendo: lim(x->oo)Ψ'=0"的證明 (連結裡的記號是F不是Ψ)
→ Philethan: ....我剛好像點去討論反證法的頁面了XD 感謝，現在來
→ Philethan: 看看
→ wohtp: r大，你覺得你那個psi的能量是什麼？
→ wohtp: 如果Hamiltonian裡面有導數項，這樣的量子態就不在physical
→ wohtp: spectrum裡面
→ wohtp: 既然能量太大，永遠摸不到碰不著，那跟不存在是一樣的
→ recorriendo: 不是喔 Hamiltonian裡沒有導數項 是原PO的積分裡如果
→ recorriendo: 要用分部積分需要有dΨ/dx at infinity=0
→ wohtp: 我看到 d<p>/dt，然後我看到右邊沒有半個t的導數，原po難道
→ wohtp: 不是用薛丁格把 d/dt 換成 H 了嗎？
→ wohtp: 然後右邊替換進去的項明明就有一堆 d/dx
我不是用這方法，因為我沒學過...。我用的是很簡單的微積分QQ
→ kerwinhui: 物理意義的假設也只是把Ψ想成是Sobolev H^1，離足夠用
→ kerwinhui: Sobolev imbedding + Morrey 進 C_0 還差 1/2+epsilon
→ kerwinhui: (假設 n=3)
→ kerwinhui: 要再加上如 V 在 infinity 的 behaviour 才能成功進化
→ kerwinhui: 數學上有一些如 strichartz inequalities，不過物理方
→ kerwinhui: 面好像沒人理會這個問題，反正作出來的potential都沒有
→ kerwinhui: 這種問題就以為是 universal 了
k大推的我都看不懂QAQ
推 sunev: 實驗上的universal true和數學上的logically true還是不一
→ sunev: 樣的
同意！
※ 編輯: Philethan (101.14.201.156), 09/11/2015 22:21:02
→ wohtp: 啊？你第一行不是薛丁格方程式是什麼？
→ Philethan: 是薛丁格方程式，但應該沒用到你說的「H」..
→ wohtp: 那就是啦，你代進去的是 H = -(d/dx)^2  +  V(x)  啊。
→ wohtp: 所以H有導數項。若是波函數的導數不收斂到零去，能量就會發
→ wohtp: 散。
→ wohtp: 我所理解r大之前說的是，你又沒講你的H是什麼，可能根本沒
→ wohtp: 有導數（動能）項
→ wohtp: 所以我說你第一行就已經假設了H的型式
→ Philethan: 因為沒學過H的用法，所以當然沒講我的H是什麼了
→ Philethan: http://i.imgur.com/xBBCsdy.jpg
→ Philethan: 上面是我的完整過程
→ wohtp: 所以Griffith直接告訴你薛丁格方程式是
→ wohtp: (i d/dt)Ψ =  (-i d/dx)^2 Ψ  +  V(x) Ψ
→ wohtp: 這樣子？？
→ wohtp: 我沒看過Griffith，但是我很難相信有像樣的教科書會這麼寫
→ wohtp: 薛丁格方程式是  (i d/dt)Ψ  =  H Ψ
→ wohtp: H 的長相基本上就是你的系統的定義
→ wohtp: 直接說  (i d/dt)Ψ = [(-i d/dx)^2 +  V(x)] Ψ  是薛丁格
→ wohtp: 和直接說  ma = -kx  是牛頓第二定律是同樣的謬誤
推 wtfmap: Griffith後面一點給了operator的概念後才使用H形式