作者kuromu (kuromu)
看板Physics
標題[問題] group velocity?
時間Mon Sep 14 00:36:09 2015
1 i(kx-ωt)
若波可表示為 a(x,t) = -----∫A(k) e dk
√2π
且
∫ x|a(x,t)|^2 dx
<x> = --------------------
∫ |a(x,t)|^2 dx
2 1 _____ i(kx-ωt) -i(k'x-ωt)
∫ |a(x,t)| dx = ----- ∫∫∫ A(k)A(k') e e dx dk dk'
2π
1 -iω(k)t ____ iω(k')t ikx -ik'x
= ----- ∫∫ A(k)e A(k')e ∫e e dx dk dk'
2π
-iω(k)t ____ iω(k')t
= ∫∫ A(k)e A(k')e δ(k'-k) dk' dk
-iω(k)t ____ iω(k')t
= ∫A(k)e ∫ A(k')e δ(k'-k) dk' dk
-iω(k)t____ iω(k)t
= ∫A(k)e A(k)e dk
2
= ∫|A(k)| dk
2 1 -iω(k)t ____ iω(k')t ikx -ik'x
∫ x|a(x,t)| dx = ----- ∫∫ A(k)e A(k')e ∫xe e dx dk dk'
2π
-iω(k)t ____ iω(k')t
= i∫∫ A(k)e A(k')e δ'(k'-k) dk' dk
-iω(k)t ∂ ____ iω(k')t
= -i∫ A(k)e ∫---- [ A(k')e ] δ(k'-k) dk' dk
∂k'
-iω(k)t ∂ ____ iω(k)t
= -i∫ A(k)e ----[ A(k)e ] dk
∂k
d 2 -iω(k)t ∂ ____ iω(k)t
---∫x|a(x,t)| dx = -∫ ω(k)A(k)e ----[ A(k)e ] dk
dt ∂k
-iω(k)t ∂ ____ iω(k)t
+∫ A(k)e ----[ω(k) A(k)e ] dk
∂k
-iω(k)t ∂ ____ iω(k)t
= -∫ ω(k)A(k)e ----[ A(k)e ] dk
∂k
-iω(k)t ∂ω ____ iω(k)t
+∫ A(k)e ------ A(k)e dk
∂k
-iω(k)t ∂ ____ iω(k)t
+∫ ω(k)A(k)e ----[ A(k)e ] dk
∂k
2 ∂ω
= ∫|A(k)| ------ dk
∂k
2 ∂ω
∫|A(k)| ------ dk
d ∂k
=> v = --- <x> = -----------------------
g dt 2
∫|A(k)| dk
請幫我看一下是否有算錯或觀念上錯誤
如果有更簡單的求法也請不吝指導
感謝
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推 phs: ∫ x|a(x,t)|^2 dx的計算中 第二行的delta function怎麼來的? 09/14 09:40
→ rex0707: Dirac delta function的定義 09/14 11:57
→ rex0707: 阿 我看錯行 p大說的那一行的積分裡面還有一個x 09/14 11:59
→ kuromu: 我是用傅立葉 x^nf(x)->i^n[d^nF(ω)/dω^n]的性質 09/14 12:04
→ kuromu: 下一步再用delta function導數的定義換 09/14 12:05
推 phs: 恩 看懂了 你沒算錯。不過請問-----再除以k是指對k作微分吧? 09/14 12:46
→ kuromu: 對 09/14 12:55
推 Landau: 感覺你第一行假設a(x,t)=a(x)e^(-wt)? 09/15 08:40
→ Landau: 上一行少一個i，應是e^(-iwt) 09/15 08:41
推 profyang: 要討論群速一定是先time harmonic吧~ 09/16 14:47
推 Landau: 阿是的，w(k) 忘了 09/18 00:13
推 j0958322080: 樓上藍道 09/18 00:26