[問題] 狹義相對論 光速行進的粒子

[Lanjaja ()]

【出處】(習題或問題的出處)

        長久以來只知道結果，可是想知道狹義相對論如何真正推導證明光子性質


【題目】(題目的文字敘述，如有圖片亦可提供圖片)

        在狹義相對論下證明

        (1)如果在某一個慣性系下有個粒子速度=光速c，證明在其他任意慣性系下測
           出來的粒子速度也同樣會是光速c

        (2)這種粒子的靜止質量=0

【瓶頸】(解題瓶頸或思考脈絡，請盡量詳述以利回答者知道要從何處講解指導)

        (1)Lorentz轉換要求|v|<c，不能等於c，否則γ會變成無窮大。既然如此，
        在不同慣性系下的速度轉換式中直接把物體運動速度(v_x,v_y,v_z)用光速
        向量代進去不會矛盾嗎？我是得到c，但這種做法邏輯上有瑕疵，我不能夠接受。

        (2)曾經想過用4-vector的(E/c)^2 - p^2  = (mc)^2，又古典電磁學光子E=pc
        所以m=0。我不能夠接受的理由：
        (a)E=pc是電磁波才適用的，我們已經假設是光速行進的粒子，不應該因為同樣
           行進速度是c，就直接認定那個粒子就是光，繼而直接套用E=pc的結果。
        (b)就算是古典電磁學E=pc，E,p也是古典的量，E和p在相對論都遭到修正，狹義
           相對論的E,p根本就不能夠確定和古典的一不一樣，怎麼能夠亂套？
        想請問能不能用4-vector或張量及u_i·u_i=c^2恆等式推出靜止m=0?

想請各位先進幫忙解答一下這些問題，感謝回答

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推 kuromu: Lorentz轉換是座標系的速度 不是被觀察物的速度?
→ Lanjaja: 對，我有注意到，但是慣性系速度要求不能達光速，卻允許
→ Lanjaja: 粒子能用光速運動，不是很奇怪嗎？
→ kuromu: 光速不變應該是假設吧
→ wohtp: 所以光速跟其他速度不一樣，以光速行進的「物體」也不是我
→ wohtp: 們身邊的這些普通物體
→ Lanjaja: 這樣子討論光速行進的粒子，是不是從一開始就沒什麼意義?
→ wohtp: 停得下來的東西都不可能達到光速，達到光速的東西都不可能
→ Lanjaja: 從頭到尾我們唯一知道光速行進的東西就是光而已。相對論
→ Lanjaja: 中的物體應該侷限在指定具有靜止質量的東西。
→ wohtp: 在任何座標系停下來，兩者完全沒有交集，所以沒有原po想的
→ wohtp: 問題
→ Lanjaja: 好吧，那第二題修改成證明光的靜止質量=0，我就只能向各
→ wohtp: 啊，我的意思是，沒有原po推文裡所說「差別待遇」的問題
→ Lanjaja: 位高手請教了，因為那個恆等式就不能夠用，我就不知道該
→ Lanjaja: 怎麼辦了....
→ Lanjaja: 所以w大是認為第一題粒子速度代向量c也可以囉？除了速度
→ Lanjaja: 轉換公式，還有沒有其他方法能夠證明第一題？
→ kuromu: 有的根本捨棄靜止質量的概念 只有能量 動量
→ wohtp: 1. 光速不變是相對論的公設，沒得證明
→ wohtp:    不如說LT根本就是以光速不變為前提導出來的必然結果
→ wohtp: 2. (E, p) 是向量，所以座標變換是照著LT做
→ wohtp: 然後我們知道LT保 (E^2 - p^2)
→ Lanjaja: (E/c,p)是4-vector是由具有靜止質量的粒子和proper time
→ wohtp: 如果 E != p，則我們可以LT到某個座標系：
→ wohtp: (E, p)  -->  (E', 0)
→ Lanjaja: 定義出來的，光子proper time不會改變，dτ是0，這樣沒辦
→ Lanjaja: 法知道光子的(E/c,p)也是4-vector
→ kuromu: 有的是把相對論直接用4-vector重寫
→ kuromu: 變成說任何東西都可以那樣寫 根據E^2 - p^2不變量做分類
→ wohtp: 我不是從 4-velocity 定義 4-momentum，所以暫時還沒有碰到
→ wohtp: proper time = 0 的問題
→ Lanjaja: 我甚至覺得連光的u(=dx/dτ)都沒辦法定義
→ wohtp: 應該這麼說，假設光子也可以有 4-momentum，那 E 和 p 的關
→ wohtp: 係要是什麼
→ Lanjaja: 可以如果不用4-vector，怎麼知道(E/c,p)遵守LT?
→ wohtp: 光子的 (t, x) 不管怎麼轉換都是 |dx/dt| = c (= 1)
→ wohtp: 可是如果 E != p，你就可以轉換到某個座標，雖然光子還在
→ wohtp: 跑，但是 p' = 0
→ Lanjaja: k大的作法比較像是將光和粒子直接分開討論
→ wohtp: 我的前提是：ok，我根本不能保證光速前進的粒子可以有
→ Lanjaja: 所以w大的意思是光的x_0=cτ沒有所謂的ct?
→ wohtp: 4-momemtum這樣的東西，就算有，我也不知道(E, p)和(t, x)
→ wohtp: 之間有什麼關係。
→ wohtp: 但是，如果真的有這個 4-momentum，要嘛你就得接受一顆光子
→ wohtp: p = 0 的時候還到處趴趴走的事實，要嘛你就只好限制 E = p
→ Lanjaja: 我一直卡在一個地方，如果要算4-momentum，就要先定義出u
→ Lanjaja: u=dx/dτ=dx/dt*dt/dτ 光的|dx/dt|=c，可是dt/dτ會爆
→ wohtp: 那就是你在用 4-velocity 定義 4-momentum 啊。
→ Lanjaja: 我了解w大關於p' = 0的論證方式，現在只差把光的(ct,x)和
→ wohtp: 我就說我的前提是我根本不知道光速粒子的 4-momentum 是什
→ wohtp: 麼鬼
→ Lanjaja: (E/c,p)的LT關聯如何建立起來
→ wohtp: 只是，如果真的有這種東西，然後 p 又得某種程度上和 dx/dt
→ wohtp: 扯上關係，那你就只好限制 E = p
→ Lanjaja: 那光子的|dx/dt|=c和光子的動量怎麼做連結?光速恆定，動
→ Lanjaja: 量不能為0嗎？光速恆定，動量可以改變，也有可能為0?在還
→ Lanjaja: 不知道動量和光速之間的關係前？
→ wohtp: ok，所以你現在的問題是，侷限在光子上面，你要怎麼實際上
→ wohtp: 定義一個 4-momentum
→ Lanjaja: 對，就是卡在這個問題
→ wohtp: 那你得先知道光子是什麼。也就是說，要從寫下 Maxwell
→ wohtp: Laguagian 開始，然後量子化
→ wohtp: 然後光子的 dispersion 馬上就跟著掉出來了。
→ wohtp: 或者說你可以不碰量子場論，從古典電磁學就可以定義電磁波
→ wohtp: 的能量密度和動量密度，然後說光子是電磁波所以必須 E = p
→ Lanjaja: w大的意思是從那些理論得到E=pc?還是其他結果?
→ Lanjaja: 好吧，我記得狹義相對論好像要保持Maxwell eqn所以E=pc也
→ Lanjaja: 要跟著成立，應該是這樣吧?
→ Lanjaja: 謝謝w大，所以光子基本上沒有4-velocity但是有4-momentum
→ wohtp: 是的。你要先量子化電磁場才看得到光子，然後就可以導出光
→ wohtp: 子的各種性質，包括 4-momentum
→ Lanjaja: 好的，有一點點瞭解了，粒子終究和光是要分別處理。謝謝w
→ wohtp: 至於用古典電磁學的 E = p 那個途徑，因為古典電磁學沒有光
→ Lanjaja: 大花那麼多時間講解，我有空再翻電磁場量子化。也謝謝k大
→ wohtp: 子，所以你要自己動手強加一個光子 = 電磁波這樣的概念進去
→ Lanjaja: 古典有ω/k=c，量子上下通分乘以h-bar就是量子化結果?
→ Lanjaja: 好的，我會再讀讀那方面的東西，感謝w大
→ wohtp: 這個問題最後給我們的教訓就是：光速前進的粒子沒有
→ wohtp: 4-velocity，所以就連它有沒有4-momentum這件事都難說
→ wohtp: 要定義 4-momentum 就要給我更多關於這個粒子的資訊
→ Lanjaja: 嗯，讓我感覺狹義相對論討論光速行進的粒子好像只是應景
→ Lanjaja: 一下，搭上量子物理中光子的概念
→ wohtp: 所以我也學到東西。半個小時前我還是被「光速 = 無質量」徹
→ wohtp: 底洗腦的人。
推 zealeliot: 推這篇的推文 板主可以收精華區嗎? @@
推 barabara: 會違反Maxwell的某個定律 如果粒子也以光速行進，那磁通
→ barabara: 量變化為0
→ Lanjaja: 可以解釋一下為什麼磁通量變化為0?
推 barabara: 電磁波分量有電場和磁場，如果粒子以光速移動，電磁波也
→ barabara: 是，那對粒子而言從頭到尾磁場皆一樣，視為常數，對時
→ barabara: 間偏微為0
推 kuromu: 這樣只是和 [觀察座標系速度不能達光速，卻允許被觀察的物
→ kuromu: 體可以光速行進] 一致而已？
→ kuromu: 且電磁場分量本來就會隨觀察者不同改變
→ kuromu: 只要電磁場的變換是根據LT即可
→ kuromu: 印象中等加速度的物體x-t圖大概長這樣
→ kuromu: http://i.imgur.com/jI0MZgS.jpg
→ kuromu: comoving frame大概是那樣變化 所以可預測光速時坐標軸
→ kuromu: 可能的樣子