[閒聊] 請問二次量子化本質性的概念

[jacy1984 (jacy)]

以下為代po，勿回信箱

我最近一直在摸二次量子化相關的東西，我知道可以用來處理簡協運動位能井，以及用多
粒子的概念去敘述單一粒子angular 算符對應的eigenvalue，但我現在總感覺知其然不知
其所以然，題目會算，但是仍然抓不到二次量子化的本質概念

例如，為何一定要引入二次量子化，難道只是為了運算簡便嗎？

還有，二次量子化和什麼樣的物理系統存在充要條件上的對應？

我讀到現在，對於二次量子化較深刻的概念仍然不清不楚，希望這邊的高手能用一些方式
點醒我

非常感激不盡

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→ wohtp: 我們來考慮古典力學就好。一個質量 m 的質點在三維空間的運
→ wohtp: 動可以用 H = p^2/(2m) + V(x) 來描述。
→ wohtp: 請用這個Hamiltonian，這個六維phase space，描述兩顆粒子
→ wohtp: 的運動。
→ wohtp: 答案是你辦不到。要加進第二顆粒子，你就需要第二組位置和
→ wohtp: 動量。
→ wohtp: 所以，難道電子每吃進或丟出一顆光子，你就要重寫整個模型
→ wohtp: 嗎？
推 Eriri: 簡單的說 二次量子化其實只是換一組基底 用Fock space當新
→ Eriri: 的基底空間 之所以這樣的原因 就只是這樣在很多情況下能自
→ Eriri: 動把一堆牽涉到slater determinant的複雜運算搞定
推 Eriri: 為何要引入二次量子化？ 1. 嚴格來說 沒有一定要的理由不可
→ Eriri:  你也可以用一般量子力學課本的slater determinant處理多
→ Eriri: 粒子問題 問題是在算很多很簡單的量時有點麻煩 因此多粒子
→ Eriri: 問題 二次量子化是滿自然的方式
→ Eriri: 2. 由於多粒子系統多數情況都是無法有解析解的 二次量子化
→ Eriri: 的方法提供了很多怎樣操作近似的方法或觀點（像是費曼圖）
→ Eriri: 3. 當然 有時候視野被二次量子化與基於其衍生的方法限制也
→ Eriri: 不一定很好 Laughlin當年直接猜出FQHE的基態解 Haldane都
→ Eriri: 承認他跟很多厲害的理論家在這問題上都被二次量子化的語言
→ Eriri: 限制了 二次量子化是給不了你基態 其實"只要"你會解多粒子
→ Eriri: 問題 不用二次量子化也沒什麼大不了
→ Eriri: 以上回答基本上是站在凝態學界的角度 但其實套用到高能也是
→ Eriri: 一樣的 只是凝態物理中基態（真空）的微觀組成份子很多時
→ Eriri: 候是知道的 但高能中 你根本不知道更微觀的真空是什麼 所以
→ Eriri: 二次量子化少不了
推 sunev: 推樓上
→ wohtp: 數學上來說並不是「換一組基底」而已
→ wohtp: First quantization 完全沒有能力處理粒子數目的變化。
→ wohtp: 你可以用Slater determinant硬爆多電子系統是建立在兩個前
→ wohtp: 提上：
→ wohtp: 1. 能量太小看不到e+e- pair production
→ wohtp: 2. 用某種semi-classical的方法搞掉光子
→ wohtp: 即使如此，你的模型還是被電子數守恆限制住。如果我現在想
→ wohtp: 問的問題是：「從系統抽一顆電子出來會發生什麼事？」
→ wohtp: 你只好把你的n-electron Hamiltonian丟掉，改用另一個
→ wohtp: (n-1)-electron Hamiltonian去描述抽掉一顆電子以後的系統
→ wohtp: 所以2nd quantization做的不是「換基底」而是「擴充基底」
→ wohtp: Fock space是所有n-electron space的聯集
→ Eriri: 你可以加很多個不同電子數目的slater determinnt啊
→ Eriri: 本來要加入不同電子數目的波函數進入基底就是原則上做的到
→ Eriri: 的 不必限於二次量子化
推 sunev: 只要定義好不同電子數目的態之間的matrix element就可以了
→ Eriri: 然後我提到slater determinant 當然不是指只用同粒子數的sl
→ Eriri: ater determinant當basis 而是指 當你真的在處理多粒子系
→ Eriri: 統（甚至粒子數守恆或者不守恆都好） 在計算很多很簡單的
→ Eriri: 物理量時 根據平常量子力學的運送規則 自然必須碰到slater
→ Eriri:  determinant 然後計算就會很瑣碎
→ Eriri: 於是 定義二次量子化的運送規則 能夠自動的處理掉這些瑣碎
→ Eriri:  其實平常的量子力學就能夠直接推廣到處理多粒子甚至粒子
→ Eriri: 數變動的問題 只是光是在簡單的系統計算簡單的量就很麻煩
→ Eriri:  二次量子化自動的把麻煩給掃掉
→ louis925: 但是又常常聽到說實際上根本就沒有二次量子化，我們只做
→ louis925: 了一次量子化
→ louis925: 另外，如果考慮純量場，就不會有slater determinant的困
→ louis925: 擾。
推 leo80042: 回樓上：「沒有二次量子化」的說法是根據你的出發點而定
→ leo80042: 。如果你的出發點是量子力學(用波函數做計算)，那二次量
→ leo80042: 子化的對象就是波函數(把波函數提升為場)。但假如你一開
→ leo80042: 就從量子場論出發，那就沒有第二次量子化這件事。跟g大
→ leo80042: 下面那篇回應對照一下可以很清楚看出這個關係。
→ louis925: 感謝! 我一直很困擾這兩種說法