推 leo80042: 推 11/28 01:35
推 louis925: 推! 之前竟然都沒有學到這東西 11/28 16:04
推 WINDHEAD: g大說的是比較標準的作法。實際上還有另一種同樣也是 11/29 04:17
→ WINDHEAD: canonical 的作法叫做 orbit method 比較神秘一點 11/29 04:18
: 我想請問一個問題，關於建構L+-這樣的算符，我只知道這樣的非hermitian算符可以升階
: 及降階，但我想問，關於如何建構這樣的算符，有沒有更為根本的概念
: 這個算符是湊出來的？？
: 還是有比較好的方式可以幫助我想像或理解，最初的人是如何建構出這樣的算符
: 另外，leo先生有提及關於lie group，並說明這是更大的代數結構，關於這方面我蠻想多
: 了解一些，可否稍微著墨一下，因為我現在有在讀群論，並且重新複習較偏數學的線代(
: 就是friedberg那一本)，希望為lie group,lie algebra和表示論鋪路，至於我為什麼要
: 讀lie群，純粹是因為聽不少人說這是物理的一個算蠻核心的數學，我目前的物理程度雖
: 然還不需要，但也空就會花時間看
: 謝謝
如果一開始你拿到的是一個Lie algebra 這個故事有一個standard process
(Lie algebra是Lie group的微分版本)
你會先挑出最大的一組互相commute的operators 叫做Cartan subalgebra
物理上的意義是你可以同時diagonalize這些operators，以SO(3)的例子就只有一個:Jz
接著你想像在adjoint representation，找出這些Cartan subalgebra的eigenstate。
如果你覺得這個講法有點嚇人，大致上的意思是說，對於每一個h in Cartan subalgebra
找出ladder operater A such that [h,A]=\lambda x A。
\lambda是eigenvalue，對應到的是如果你把A作用到state上，你會增加
h的eigenvalue(in original representation) by \lambda
SO(3)的例子裡 你找到的就是[Jz,J+]=J+, etc.
詳情請參照任一本 Lie algebra教科書。
在quantum mechanics裡，我們一開始就會拿到一些observables and their commutation
relations，所以我們一開始就會拿到一個像是Lie algebra的structure。
比如說一顆particle，我們有X, P, with [X,P]=i
如果我們選擇用X來label states，因為[X,-iaXP]=aX 所以-iaXP就是
X的creation operator，對應到增加X的eigenvalue by a (translation)
如果我們選擇用Hamiltonian來label, 那就會取決於H and X,P的commutation relations
比如說H=(P^2+X^2)/2 (Harmonic oscillator)
[H,X]=-iP
[H,P]=iX
=>[H,X-iP]=1x(X-iP)
所以X-iP就是H的creation operator(up to a const), increasing the energy by 1。
有時候就算我們選擇要用Hamiltonian 來label states，我們會發現state不unique
數學上就對應到我們一開始的Cartan subalgebra沒選好，我們應該要加一些跟H
commute的operators，比如說在氫原子的時候，我們加了J^2 Jz Sz。
所以這跟我們一開始的degree of freedom (所有operators）有關。
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