Re: [閒聊] 從泛函觀點來看電磁學

[linkismet (linkismet)]

※ 引述《rareone (拍玄)》之銘言：
: 最近在看griffiths的電磁學
: 裡面提到變分法
: 有時一個泛函可以改寫為微分方程式
: 我想知道這樣的方式有什麼優缺點
: 以及利用泛函觀察向量場還有什麼有趣、值得研究的地方
: 函數空間有什麼特色
: 有沒有相關的推薦書籍
: 感謝

只能說一下對泛函的認識，可能可以回答你的部分問題，結論很短在最後。

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先逐步思考極值問題

1.有一條繩索長度固定L，圍成一個矩形，要如何圍才能使繩索圍住的面積最大?

2.有一條繩索長度固定L，在河邊圍三邊圍成一個矩形，請問要如何圍才能使圍住的面
積最大?

3.有一固定長度線段l ，圍成一個封閉迴路，何種造型可以使內部面積最大

4.有一固定長度線段l ，和x軸圍成一個封閉迴路，何種造型可以使內部面積最大

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之前兩個問題是給定一個方程求一個實數解
後面則是給定一個積分方程其積分值不確定，但是積分值是一個極值，以此求一個函數
，也就是從一個積分映射到一個函數

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二維 x-y plane上的情況
假設有一個連續可微分正定函數 y=y(x)=f(x) 處處行為良好，此函數通過x軸上兩點，欲
使曲線下面積為極值，且函數在兩點間的曲線長度為定值L
求此函數

也就是說

(a) integral (dl) = L
        where dl = sqrt(1+(y')^2) dx
(b) integral(f(x)) =J   , x form x_1 to x_2
        where J is a extreme value
use (a), (b) to find f(x)

這是一個求解f，有限制條件的積分方程(變分法)

** 但可以轉換為微分方程，而求得其解

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三維的情況則是，有個行為良好的函數z(x,y)
在面積固定的情況下(面積分為定值)
使體積為極值(體積分為極值)

你會得到一個兩變數的積分方程(變分法)

** 數學上可以轉換為偏微分方程->邊界值問題
** 從二維到三維問題時，會再需要多一些條件才能確定z(x,y)
cf: 單變數微積分: 解高階微分方程式時會多一些待定積分常數,多變數麻煩一點, plz
review calculus

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higher dimension : .. and so on..

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*物理不管E是不是處處可微，well defined or not, 先解出一些和實驗比對是否吻合
， 那些 restriction 通常事後在補。

回到電磁學，E, B可寫為 x,y,z, t 的函數 ，vector field E=(x,y,z, t) or E=(r, t)
你知道 Maxwell's eq. set 常寫為 differentail form,
但也都可以寫成 integral form,
當需要解一些極值，限制，固定源等問題時，泛函分析，變分法就可能提供一個切入點和
看問題的觀點，也就是說，某些問題可能可轉成泛函分析，微分方程，得到了解，反之亦
然，某些問題可能可以給泛函，微分方程一些hint。

當然泛函分析現在數學家已經走的很遠很遠了。

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→ kentano: 還有數值方法有用到變分
推 heimaykiwi: 沒人回答，我僅提供自己粗淺的道聽塗說:
→ heimaykiwi: 把電磁波問題寫成變分型式，很久以前(early 1980s)台
→ heimaykiwi: 大電機陳俊雄教授團隊就做很多,好處應該是直觀，更重
→ heimaykiwi: 要的是它是scalar問題，不是向量問題，好處看藍道力學
→ heimaykiwi: 那些例題，就知道使用scalar來解題比起使用向量來得方
→ heimaykiwi: 便得多。變分問題同時也提供數值計算很好的起點，特別
→ heimaykiwi: 對複雜問題更是重要。
※ 編輯: linkismet (36.233.12.176), 02/19/2017 03:38:47