推 ro9956882: 能量也是解微分方程 只是是一次的 06/09 16:17
在友人臉書看到的大一普物問題：
物體 A、B 靜止於直線，各距離原點 R、-R ，質量均為 m ，因萬有引力而相吸，求物體
A 經過時間 t 的 v(t) 之方程式。
我的想法是：
速度可以從加速度對時間積分求得
v(t) = ∫a(t)dt......(1)
而根據牛頓第二運動定律
a(t) = F(t) / m......(2)
假設A的位置函數是x(t),
AB間距就是 2*x(t)
還有位移速度加速度之間的關係是
v(t) = x'(t)
a(t) = v'(t) = x"(t)
根據萬有引力定律
F(t) = - (G*m*m) / [(2*x(t))^2]......(3)
把(3)代入(2)再代入(1)
v(t) = -0.25*G*m* ∫[1/(x(t))^2]dt
然後有兩個初始條件@t = 0
x(0) = R
v(0) = 0
這樣列式不曉得正不正確 @@
另外，也可以從能量觀點：
假設A在時間t的位置是 x(t)
時間t0的重力位能 - 時間t的重力位能 = 時間t的A動能 + 時間t的B動能
-G*m*m/2R - [-G*m*m/(2*x(t))] = m*[v(t)]^2
v(t) = sqrt{0.5*G*m*[(1/x(t)) - (1/R)]}
不是積分(第一種算法)就是根號，看起來都很麻煩...orz
學長說：
亦可以用 dimension analysis : 假設此質量有一特徵長度 X 及特徵時間 T
重力表現應是反比於 X^2
而加速度應是 X/T^2
兩者應是同樣的dimension，所以1/X^2 ~ X/T^2
所以X ~ T^(2/3) ，因此可假設 x(t) =C1 t^(2/3) + C2
代入初始條件解出 C1 & C2
但假設x(t) = c1*t^(2/3) + c2的話
x(0) = R 得 c2 = R
不過 x'(0) = 0 就算不出c1了
然後估狗到台大普物李文忠出過類似的考題...
但只有題目 = =
https://www.ptt.cc/bbs/NTU-Exam/M.1294993644.A.500.html
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