作者phs (世故人情情難還...)
標題Re: [問題] 熱統計物理
時間Tue Sep 27 19:03:41 2016
※ 引述《benny30912 (綻放笑顏)》之銘言：
: ※ 引述《phs (世故人情情難還...)》之銘言：
: : 3. k_B*T為能量單位, u為內能亦為能量單位, 而1/v與u單位一致(由2結果看出)
: : 因此可假設 c1*k_B*T = c2*u + c3*1/v , 其中c1,c2,c3為常數
: 解題的時候腦筋太死了，轉不過來，沒有想到有這種處理方法，
: 解法我大概懂了，
: 有個問題請教一下，如何確定c1,c2,c3會是常數呢？
從單位上來看，頂多可以得到c1,c2,c3/a是無因次量，
: 但無因次量未必就一定是常數，
: 想請教一下要如何判斷呢？
答: 抱歉更正,1/v的單位不是能量, a/v的單位才是能量
(由 P = k_B*T/(v-b) - (a/v)(1/v)可看出 a/v的單位與k_B*T相同)
所以應該假設 c1*k_B*T = c2*u + c3*a/v,之後解法同我上一篇解法,
但結果變為c2=c3.
k_B*T, u, 及a/v 這三個物理量的單位已知都同樣是能量單位了,
所以它們之間存在的就只能是線性關係,而c1,c2,c3就是它們之間線性
關係的比例常數, 這裡指的比例常數(或者說是比例係數)當然會因系統
不同而不同,不會是一個固定的值
4. 由 ds =(1/T)du + (P/T)dv
: : = [ck_B/(u + a/v)]du + [k_B/(v-b)-ack_B/(uv^2 + av)]dv
: : 兩邊做積分得到
: : s = s_0 + S[ck_B/(u + a/v)]du + S[k_B/(v-b)-ack_B/(uv^2 + av)]dv
: : ~
: : (積分符號)
: : = s_0 + ck_B*ln(u + a/v) + k_B*ln(v-b) - ack_B*S[1/(uv^2 + av)]dv
: : = s_0 + ck_B*ln(u + a/v) + k_B*ln(v-b) - ack_B*(1/a)ln[1/(u + a/v)]
: --------------------------
: 請問這邊是怎麼積出來的
: 我的算法是-S(ack/(uv^2+av))dv
: =-ack/u*S(1/(v^2+(a/u)v))dv
: 由部分分式，1/(v^2+(a/u)v)=u/a*(1/v-1/(v+(a/u)))
: 所以積分結果變成-ack/u*u/a*ln(v/(v+(a/u)))
: 整理變成ck*ln(u+a/v)-ck*ln(u)
: ---------
: 會多出這一項
說明: 積分 S[1/(uv^2 + av)]dv
因為 1/(uv^2+av) = (1/v)*1/(uv+a) = (1/a)[1/v - u/(uv+a)]
所以 S[1/(uv^2 + av)]dv = (1/a)S[1/v - u/(uv+a)]dv
= (1/a)[ln(v) - ln(uv+a)]
= (1/a)ln[v/(uv+a)] = (1/a)ln[1/(u + a/v)]
= -(1/a)ln(u + a/v)
註: 這裡的積分常數皆忽略,因為都吸收到initial entropy s_0去了
: 非常感謝你的回答，在解熱統計的時候，
: 常常會搞不清楚一些步驟到底在數學上成不成立，
: 例如4.的積分式我就會搞不清楚在對u積分的時候，
: 到底能不能把v當作常數之類的，
: 我做的時候是當作可以啦...不過沒有辦法想得很清楚
答: 由全微分 ds = (@s/@u)du + (@s/@v)dv 來看
這裡面意味著s中含有u和v兩個自變數,而這兩個自變數是視為各自獨立的,
所以當妳做偏微分 @s/@u 時, v視為常數; 同理在做偏微分 @s/@v 時, u視為常數
但要注意的是, 若是@s/@u 及@s/@v這兩個函數皆含有u及v兩個變數時, 不可在ds的
全微分方程式中,直接兩邊同時積分來求出s, 理由是因為當妳在做積分
S ds = S(@s/@u)du + S(@s/@v)dv 時, 等式右邊第一項中v被視為常數,而
第二項中u被視為常數, 這兩件事情是不能在一個方程式中同時成立的
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※ 編輯: phs (118.165.154.144), 09/27/2016 19:16:32
→ wohtp: 補充一下，因為問題裡面湊不出其他獨立的無因次量了，所以 09/27 19:08
→ wohtp: 那三項只好都是常數 09/27 19:09
→ wohtp: 這個就是看你相不相信目前檯面上的物理量已經足夠描述你要 09/27 19:10
→ wohtp: 解決的問題。 09/27 19:10
→ wohtp: 信心的來源很多種，例如這是習題所以你可以假設老師不會錯 09/27 19:12
推 benny30912: 我好像有點感覺了，另外我知道我和你的積分差在哪裡了 09/27 22:17
→ benny30912: ，因為我在部分分式的時候把u約分掉了，本來約不約分 09/27 22:18
→ benny30912: 的差別會吸收到常數項，但是因為沒注意到u在這應該當 09/27 22:18
→ benny30912: 作常數u0就保留下來了。 09/27 22:18
→ benny30912: 再次感謝你們，等下周老師檢討有想法再和大家分享 09/27 22:20
→ phs: 記得問妳們老師第4小題ln裡面最後面那個是不是應該是2c次方 09/27 23:23
→ phs: 不好意思我搞錯了,第4小題目答案沒錯,是c次方 09/28 10:02
※ 編輯: phs (36.227.37.177), 09/28/2016 13:13:38
※ 編輯: phs (36.227.37.177), 09/28/2016 17:12:42
※ 編輯: phs (36.227.37.177), 09/28/2016 17:13:45
推 benny30912: 我了解了，感謝修正，果然不仔細考慮很容易出錯~.~ 09/28 18:58